1、第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、填空题1命题：xR，sin x2的否定是_解析全称命题的否定是存在性命题答案xR，sin x22命题“若实数a满足a2，则a22，则a24”，这是一个真命题答案 真3已知命题p：xR，使ax22x10.当aA时，綈p为真命题，则集合A_解析綈p：xR，使ax22x10.若此命题为真命题，则即a1，从而所求集合Aa|a1答案a|a14若命题“xR，ax2ax20”是真命题，则a的取值范围是_解析 当a0时，不等式显然成立；当a0时，由题意得解得8a2，命题q：xZ，则满足“pq”与“綈p”同时为真命题的x取值为_答案 1,0,1,2,36写出下列命
2、题的否定，并判断真假(1)不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根_；(2)对任意角R，都有sin2cos21._；(3)存在一个四边形，它的对角线相等_；(4)正方形的对角线互相垂直平分_.答案 (1)存在mR，使方程x2xm0无实数根是真命题(2)存在R，使sin2cos21.是假命题(3)对任意的四边形，它们的对角线不相等是假命题(4)存在这样的正方形，它的对角线不互相垂直或不互相平分是假命题7命题p：若ab0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(，0)与(0，)上都是减函数，则f(x)在(，0)(0，)上是减函数，则下列说法：“p或q”是真命题；“p或q”是假命题；綈p为假
3、命题；“綈pq”是假命题，其中正确的说法序号是_解析因为p，q均为假命题，所以说法正确答案8给出下列三个命题：xR，x20；xR，使得x2x成立；对于集合M，N，若xMN，则xM，且xN.其中真命题的个数是_解析取x0，得x20，不正确；取x，得正确；正确，故真命题的个数为2.答案29下列四个命题：mR，使函数f(x)x2mx(xR)是偶函数；xR，使函数f(x)x2mx(xR)是奇函数；mR，使函数f(x)x2mx(xR)都是偶函数；mR，使函数f(x)x2mx(xR)都是奇函数，其中是真命题的序号是_解析当m0时，函数f(x)x2是偶函数答案10若命题“xR，有x2mxm0”是假命题，则实
4、数m的取值范围是_解析 “xR，有x2mxm0”是假命题，则“xR有x2mxm0”是真命题即m24m0，4m0.答案 4m0二、解答题11写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.解 (1)綈p：x0R，xx00，真命题(4)綈s：xR，x310，假命题12已知函数f(x)x2，g(x)x1(1)xR，使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围；(2)xR，使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围解(1)由xR，f(x)bg(x)，得xR，x2bxb0，所以(b)24b0，解得
5、b0或b4，即实数b的取值范围是(，0)(4，)(2)由xR，f(x)bg(x)，得xR，x2bxb0，所以(b)24b0，解得0b4.即实数b的取值范围是0，413已知a、b、c、d均为实数，且2bdca0.命题p：关于x的二次方程ax22bx10有实根；命题q：关于x的二次方程cx22dx10有实根；求证：“p或q”为真命题证明 由ax22bx10，得14b24a，由cx22dx10，得24d24c，又2bdca0，ac2bd.124b2d2(ac)4(b2d22bd)4(bd)20.即1、2中至少有一个大于或等于0.ax22bx10，cx22dx10中至少有一个方程有实根“p或q”为真命题14在ABC中，命题p：cos B0；命题q：函数ysin为减函数设向量m，n.(1)如果命题p为假命题，求函数ysin的值域；(2)命题“p且q”为真命题，求B的取值范围；(3)如果向量mn，求A.解(1)由命题p为假命题，则cos B0.因为0B，所以B，所以B0，解得0B.命题q：函数ysin为减函数，由0B，得B.因为函数ysin为减函数，所以B，所以B，故B.(3)由mn，得mn0，即sinsin(sin Bsin A)(sin Bsin A)0，sin2Bsin2A0，cos2Bsin2Bsin2Bsin2A0，所以sin2A.因为0A，所以sin A，故A或A.