1、课时作业19反证法知识点一 反证法的概念1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论A B C D答案C解析原结论不能作为条件使用2有下列叙述：“ab”的反面是“ay或x0，这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.6用反证法证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多只有一个实数根证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为它的两个实根，则f()f()0.因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()，这与f()f()0矛盾所以方程f
2、(x)0在区间a，b上至多只有一个实根一、选择题1用反证法证明结论为“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的命题时，应假设()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数答案D解析假设结论不成立时应考虑所有情况，故选D.2有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.下列说法中正确的是()A与的假设都错误B与的假设都正确C的假设正确；的假设错误D的假设错误；的假设正确答
3、案D解析用反证法证题时一定要将对立面找准在中应假设pq2.故的假设是错误的，而的假设是正确的3设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2答案C解析假设都大于2，则abc6，但2(2)(2)6，矛盾4设a，b，c均为正实数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR0成立其次，若PQR0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P0，Q0，即abc0，bca0，所以b0，与b0矛盾故
4、P，Q，R都大于0.5如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形答案D解析因为正弦值在(0，180)内是正值，所以A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此A1B1C1是锐角三角形假设A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1sinA2，则cosA1cos(90A2)，所以A190A2.同理设cosB1sinB2，cosC1sinC2，则有B190B2，C190C2.又
5、A1B1C1180，(90A2)(90B2)(90C2)180，即A2B2C290.这与三角形内角和等于180矛盾，所以原假设不成立故选D.二、填空题6命题“a，b是实数，若|a1|(b1)20，则ab1”，用反证法证明该命题时应假设_答案a1或b1解析ab1表示a1且b1，故其否定是a1或b1.7下列命题适合用反证法证明的是_已知函数f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负实数根；若x，yR，x0，y0，且xy2，求证：和中至少有一个小于2；关于x的方程axb(a0)的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交答案解析是“否定性”命题；是“至少”类命题；是“唯一性
6、”命题，且题中条件较少；不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明故填.8对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)x0，那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”已知函数f(x)x22ax1不存在“好点”，那么a的取值范围是_答案解析假设函数f(x)存在“好点”，即存在实数x，使得x22ax1x，所以x2(2a1)x10有实数根所以(2a1)240，解得a，或a.所以f(x)不存在“好点”时，a的取值范围是.三、解答题9设函数f(x)ax2bxc(a0)，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)0无整数根证明假设f(x)0有整数根n，则an2bn
7、c0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，ab为偶数，则a，b，c同时为奇数，或a，b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，an2bn为偶数；当n为偶数时，an2bn也为偶数，即an2bnc为奇数，与an2bnc0矛盾所以f(x)0无整数根10已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和得4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ac0.(ab)2(bc)2(ac)20.abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证