1、第6讲 离散型随机变量的均值与方差一、填空题1若随机变量X的分布列如下表：则EX_.X012345P2x3x7x2x3xx解析 由分布列的性质，可得2x3x7x2x3xx1，x.EX02x13x27x32x43x5x40x.答案 2有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取到次品的个数，则E等于_来源:学。科。网解析 1时，P；2时，P，E12.答案 3已知随机变量XY8，若XB(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是_解析若两个随机变量Y，X满足一次关系式YaXb(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(Y)aE(X)b，D(Y)a2D(X)由已知随机变量XY8，所
2、以有Y8X.因此，求得E(Y)8E(X)8100.62，D(Y)(1)2D(X)100.60.42.4.答案2；2.44已知X的概率分布为X101P则在下列式子中：E(X)；D(X)；P(X0).正确的序号是_解析E(X)(1)1，故正确D(X)222，故不正确由分布列知正确答案5一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为_解析由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32 ，当且仅当，即a2b时取“等号”又3a2b2，即当a，b时，的最小值为.答案6罐中有6个红球，4个白球，从
3、中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望E()_答案 7两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)_答案：8某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y，则YB(1 000,0.1)，E(Y)1 0000.1100，故需补种的期望为E(X)2E(Y)200.答案2009签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中
4、最大的一个，则X的数学期望为_解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)5.25.答案5.2510某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.解析由已知条件P(X0)即(1p)2，解得p，随机变量X的取值分别为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)222，P(X2)22，P(X3)2.因此随机变量X的分布列为X0123P
5、E(X)0123.答案二、解答题11袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量的概率分布表；(2)随机变量的数学期望与方差解 (1)234P(2)随机变量的数学期望E()；随机变量的方差V().12甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的概率分布表及数
6、学期望解 设Ai表示事件：第i局甲获胜，i3，4，5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j3，4，5.(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而BA3A4B3A4A5A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)0.60.60.40.60.60.60.40.60.648.(2)的可能取值为2，3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(2)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4
7、)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0.60.60.40.40.52，P(3)1P(2)10.520.48.故的概率分布表为23P0.520.48E()2P(2)3P(3)20.5230.482.48.13某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为，8：20发出的概率为，8：40发出的概率为；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为，9：20发出的概率为，9：40发出的概率为.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到站(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)求
8、旅客候车时间的概率分布；(3)求旅客候车时间的数学期望解(1)第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，其概率为P.(2)旅客候车时间的概率分布为候车时间(分)1030507090概率(3)候车时间的数学期望为1030507090530(分钟)故这名旅客候车时间的数学期望是30分钟14现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、
9、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润(1)求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围解(1)X1的概率分布为X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18(万元)由题设得XB(2，p)，即X的概率分布为X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3(万元)(2)由E(X1)E(X2)，得p20.1p1.31.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.因为0p1，所以当E(X1)E(X2)时，p的取值范围是0p0.3.