1、广东省深圳外国语学校2020届高三数学下学期4月综合能力测试试题 文（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不按以上要求作答无效3考生必须保证答题卡整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合、
2、，利用交集的定义可得集合.【详解】或，因此，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】先设，再根据复数相等列方程，解得，最后根据复数几何意义确定选项.【详解】设，,对应的点为，位于第一象限，故选：A【点睛】本题考查根据复数相等求复数、复数几何意义，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.3.平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ）A. B. C. 19D. 【答案】B【解析】【分析】计算，得到答案.【详解
3、】，故.故选：.【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，又由圆，可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，则，可得，故选C【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入
4、变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（ ）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了C. 新农村建设后，养殖收入没有增加D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】D【解析】【分析】设新农村建设前农村的经济收入为，可得新农村建设后农村的经济收入为，然后计算出新农村建设前后农村的种植收入、其他收入、养殖收入和第三产业收入，由此可判断各选项的正误.【详解】设新农村建设前农村的经济收入为，可得新农村建设后农村的经济收入为，则新农村建设前，农村的种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业
5、收入为.新农村建设后，农村的种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业收入为.对于A选项，新农村建设后，种植收入增加，A选项错误；对于B选项，新农村建设后，其他收入增加了，B选项错误；对于C选项，新农村建设后，养殖收入增加了，C选项错误；对于D选项，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查饼图的应用，考查数据分析能力，属于基础题.6.已知等比数列的前项和为，若，则 （ ）A. B. C. D. 6【答案】A【解析】【分析】设等比数列的首项为，公比为，由且得到关于和的方程组，求得和，进而用等比数列的前项和公式即可得到答案.【详解】解
6、：设等比数列首项为，公比为，因为且，所以，解得或当，时，；当，时，.所以，.故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查学生对公式的熟练程度及计算能力，属于基础题.7.海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦秦九韶公式.现在有周长为的ABC满足，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（ ）A. B. C. D. 12【答案】C【解析】【分析】用正弦定理将三角形三个内角正弦值的比
7、转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦秦九韶公式即可求出三角形的面积.【详解】在ABC中，因为，所以由正弦定理可得：，设，且，解得，即，且，.故选：C.【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦秦九韶公式的应用，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.8.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数的图像关于坐标原点对称，据此可排除B选项，考查函数，则，当时，单调递增，则，据此有：，据此可排除C选项；当时，则，据此可排除D选项；本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函
8、数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项9.的内角的对边分别为，已知，则角A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合范围，可求的值，进而根据正弦定理可得的值，结合大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解【详解】，由正弦定理可得：，又，可得：，可得：，可得：，又，由正弦定理可得：，C为锐角，故选D【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式
9、，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题10.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A. (-1，1)B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的单调性和奇偶性，结合函数的性质去掉对应法则得到关于的不等式组，解出即可【详解】解：因为，所以函数的定义域为又所以为奇函数，因为在上单调递增，在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递增，又在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，故由，得：，则，解得：，故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，属于中档题11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A
10、. 存在，使得成立B. 存在，使得成立C. 存在，使得在上单调递减D. 若存在，使得，则必有【答案】D【解析】【分析】先由，求出，则，对A，D解得，对B得，对C得，结合的范围，看是否存在符合题意.【详解】由，则，又，得，则，对A，由，则，即，若，又则，即，得，又，不存在，A错；对B，由，则，即，若，又则，即，又，不存，B错；对C，由，则，若，又则，则，解得，又，故，C错误；对，由上面分析得，若，又，则，得，即，又，得，得，得，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，将相位整体代入解方程或不等式，根据条件进行逻辑推理判断正误，考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.在
11、棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD=O，E是线段B1C（含端点）上的一动点，则OEBD1； OE面A1C1D；三棱锥A1BDE的体积不是定值；OE与A1C1所成的最大角为90上述命题中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用线面垂直的判定和性质，面面平行的性质，三棱锥等积转换，异面直线所成角，对命题逐个分析，得到结果.【详解】利用平面，可得OEBD1，所以正确；利用平面平面，可得OE面A1C1D，所以正确；根据，且底面的面积为定值，且到平面的距离为定值，所以该棱锥的体积为定值，所以不正确；当在处时，OE与A1C1所成的的角为90，所以正确
12、；所以上述命题中正确的个数为3，故选：C.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有空间关系的判定，三棱锥等积转换，平行关系和垂直关系的判定和性质，属于简单题目.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为_.【答案】【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知满足，且的最大值等于_.【答案】1【解析】【分析】先作可行域，则可确定，化
13、简目标函数，再根据目标函数表示的直线含义，确定最大值取法，计算即得结果.【详解】作可行域，如图阴影部分，所以，因此，从而直线过点时取最大值，为故答案为：1【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想方法以及基本求解能力，属基础题.15.函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为_【答案】或【解析】【分析】由题，则，构造函数，利用导数研究函数的性质，作出示意图，数形结合，由与只有一个交点，求得的范围.【详解】当时，无零点，由题，则，构造函数，则，则函数在递减，在递增，当时，当时，当且时，当且时，由此可画出的示意图如图所示，再用直线去截，可知当或时，两图象有一个交点，即有一个零点.故答案为：或【
14、点睛】本题主要考查了函数零点的概念及其应用，其中解答中涉及到函数零点的个数的判定，分离变量，构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值，数形结合解决问题，属于中档题.16.已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆圆心为，半径为，的内切圆圆心为，半径为，则直线的方程为：_；若，则_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用三角形的内心及双曲线的定义，可得的横坐标与的横坐标相等，从而可求出直线的方程；利用正切函数的定义及二倍角公式，并结合题意，即可求出直线的斜率.【详解】的内切圆圆心为，边、上的切点分别为、，则，由，得，则，即，设的横坐标为，则
15、，所以，解得，同理可得，的横坐标也为，所以直线的方程为.设直线的倾斜角为，则，在中，所以，在中，结合，可得，即，解得，则直线的斜率为.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线的定义和性质、直线斜率的定义、正切函数的定义及正切函数的二倍角公式，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列的前项和为，满足，.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和为【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，知为公比为的等比数列，再由条件求出，求得的通项公式；（2）由，求得，再用等差数列前项和公式求出【详解】（1）由可知数列是公比为2
16、的等比数列， 所以. 又因为，所以， 所以. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以【点睛】本题考查了等比数列的定义及通项公式，等差数列的前项和公式，属于容易题.18.如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.（1）求证：；（2）若四边形的面积等于，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点为，根据平几知识证得四边形为平行四边形，再根据等腰三角形性质得，即有，根据面面垂直性质定理得平面，即得结果；（2）根据四边形的面积求得，再根据等体积法以及锥体体积公式求结果.【详解】证明：取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，平面平面，平面平面，.，四边形为
17、平行四边形，.，为的中点，.平面平面，且交线为，平面，平面，而平面，. (2)由(1)知，平面.直角梯形的面积等于，.【点睛】本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质定理、等体积法求锥体体积，考查综合论证与求解能力，属中档题.19.十九大报告要求，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱真贫、真脱贫.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：方案一：每台机器售价7000元，三年内可免
18、费保养2次，超过2次每次收取保养费200元；方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元.扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：保养次数012345台数110191442记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数.（1）用样本估计总体的思想，求“x不超过3”的概率；（2）按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？【答案】（1）；（2）第二种.【解析】【分析】（1）用x不超过3
19、的机器台数除以50即可.（2）分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），除以50得每台每年的平均费用，选择平均费用小的那种方案即可.【详解】解：（1）从上表中可以看出50台机器维修次数不超过3次的台数共44台，故“不超过3”的概率为.（2）在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为（元）.所以每年每台平均费用为元.在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为（元）.所以每年每台平均费用为元.因为，所以扶贫办应选择第二种方案更合算.【点睛】考查计算频率和平均数，解决的关键是读懂题意用好公式；中档题.20.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，证明：【答案】（1）在
20、上为增函数，在上为减函数；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求导数，再根据分类讨论，最后结合导函数符号确定单调性；（2）构造差函数，转化研究符号，利用导数确定单调性，再根据单调性证得不等式.【详解】解：（1）当时，则函数在上为增函数当时，由可得，由可得则函数在上为增函数，在上为减函数（2）证明：令则令，则，又，在上为增函数，则，即由可得，所以【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.21.平面直角坐标系中，已知，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点M为（1）中轨迹上一动点，直线MA与的另一个交点为N；记，若t值与点M位置
21、无关，则称此时的点A为“稳定点”.是否存在 “稳定点”？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）答案不唯一，答案见解析.【解析】【分析】（1）设，运用向量的坐标运算并化简，求得动点的轨迹的方程；（2）设，设直线的方程为，与轨迹联立，并表示出根与系数的关系，将化简得，分和去绝对值，看是否存在t值与点M位置无关.【详解】解：（1）设，则由可知：，化简得即动点的轨迹的方程为：（2）设，设直线的方程为，联立得.则则当时，同号，不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”.当时，异号.又当且仅当,即时，与无关，此时的点为“稳定点”.【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，直线与抛物线的位
22、置关系，抛物线中的定值问题，还考查了学生分析问题的能力，运算能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离【答案】（1），（2）【解析】【分析】（I）将代入，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标
23、的互化公式，即可得到曲线C的直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点到原点的距离.【详解】解：（I）将代入，整理得，所以直线的普通方程为.由得，将，代入，得，即曲线的直角坐标方程为.（II）设，的参数分别为，.将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，化简得，由韦达定理得，于是.设，则则.所以点到原点的距离为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数的最大值为.（1）求的值； （2）已知、为正数，且，证明: .【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得的值；（2）由得出，利用基本不等式得出，同理可得出，再利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，即；当时，等号成立（2）由已知条件得，同理可得，由不等式的基本性质可得，当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.