1、6.1数列的概念及简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN*递减数列an1_1时，anSnSn1anan1.，3.以上n1个式子的等号两端分别相乘，得到，又a11，an.思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解.(1)已知数列an满足a1
2、1，anan1(n2)，则an_.(2)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN*)，则a5_.答案(1)(2)16解析(1)anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.(2)当n1时，S12a11，a11.当n2时，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比数列且a11，q2，故a5a1q42416.数列问题中的函数思想典例：(14分)已知数列an.(1)若ann25n4，数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值.(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an.求实数k的取值范围.思维启迪(1)求使an
3、0的n值；从二次函数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究单调性.规范解答解(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以3.14分温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决.(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.(3)易错分析：本题易错答
4、案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系：an.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式.失误与防范1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的.2.数列的通项
5、公式不一定唯一.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.已知数列1，则3是它的第_项.答案23解析观察知已知数列的通项公式是an，令an3，得n23.2.数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6_.答案768解析当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列.又a23S13a13，an当n6时，a63462344768.3.对于数列an，“an1|an| (n1,2，)”是“an为递增数列”的_条件. 答案充分不必要解析当an1|an| (n1,2，)时，|an|an，an
6、1an，an为递增数列.当an为递增数列时，若该数列为2，0,1，则a2|a1|不成立，即知：an1|an| (n1,2，)不一定成立.故综上知，“an1|an| (n1,2，)”是“an为递增数列”的充分不必要条件.4.已知数列an对于任意p，qN*，有apaqapq，若a1，a36_.答案4解析apqapaq，a36a32a42a16a44a8a48a4a418a236a14.5.已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，且1Sk9 (kN*)，则a1的值为_，k的值为_.答案14解析当n1时，a1a1，a11.当n2时，anSnSn1ananan1，2，数列an是首项为1，
7、公比为2的等比数列，an(2)n1，Sn(2)n1.由1(2)k19，得14(2)k1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.方法二(函数法)设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)3.二、解答题9.数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n4时，a4424766.(2)令an1
8、50，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍).故数列从第7项起各项都是正数.10.已知数列an的通项公式为an，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由.解an1an，当n0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a10a11，故数列an有最大项，为第8项和第9项，且a8a9.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.已知数列an中，a1，an11 (n2)，则a16_.答案解析由题意知a211，a312，a41，此
9、数列是以3为周期的周期数列，a16a351a1.2.数列，中，有序数对(a，b)是_.答案解析根号里的数比分母大2，可得，解得.3.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为_.答案21解析设跳到第n个格子的方法种数有an，则到达第n个格子的方法有两类：向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an1；向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an2，则anan1an2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第8个格子的方法种数是21.4.数列an满足anan1 (nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21_. 答案解析anan1(nN*)，a1a22，a22，a32，a42，故a2n2，a2n12.S2110a152.5.若数列n(n4)()n中的最大项是第k项，则k_.答案4解析由题意得，所以，由kN*可得k4.6.已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性.解(1)a12，anSnSn12n1(n2).bn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cna1.综上，所求的a的取值范围是9，).