1、第二节 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲展示 1了解平面向量基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2是表示这一平面内所有向量的一组基底不共线二、平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab，(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)a，|a|_.(x1，y1)x21y212
2、向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A B，|A B|_.(x2x1，y2y1)x2x12y2y121平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的2选择合适的基底会事半功倍3向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系4向量平移后坐标不变5若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.解析：中，e22e1
3、，e1与e2共线；中e14e2，e1与e2共线，故选A.答案：A1下列各组向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e212，34.其中能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()A BCD2已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，那么2ab等于()A(4,0)B(0,4)C(4，8)D(4,8)解析：由ab，得2m40，m2，b(2,4)，2ab2(1，2)(2,4)(4，8)故选C.答案：C3(2015 年青岛模拟)设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab|()A.5B.10C2 5D10解析：
4、由题意可知2x40，42y0，解得x2，y2，故 ab(3，1)，|ab|10.答案：B 4在平行四边形ABCD中，若(1,3)，(2,5)，则_，_.解析：AD BCACAB(2,5)(1,3)(1,2)，BD AD AB(1,2)(1,3)(0，1)答案：(1,2)(0，1)5若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c_(用a，b表示)解析：设 cmanb，则(4,2)m(1,1)n(1,1)得mn4，mn2，解得m3，n1，所以 c3ab.答案：3ab平面向量的坐标运算(自主探究)例 1(1)(2013 年高考辽宁卷)已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位
5、向量为()A.35，45 B.45，35C.35，45D.45，35(2)(2014 年高考北京卷)已知向量 a(2,4)，b(1,1)，则 2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)解析(1)A(1,3)，B(4，1)，AB(3，4)，|AB|5，与AB同向的单位向量为 AB|AB|35，45.故选 A.(2)由 a(2,4)知 2a(4,8)，所以 2ab(4,8)(1,1)(5,7)故选A.答案(1)A(2)A规律方法(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用(2)平面向量的坐标运算的引入为
6、向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来A.2a1 22 bB 2a1 22 bC 2a1 22 bD.2a1 22 b平面向量基本定理的应用例 2 如图，在四边形 ABCD 中，ABBCCD1，且B90，BCD135，记向量ABa，ACb，则AD()解析 根据题意可得ABC为等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，答案 B并作 DEy 轴于点 E，则CDE 也为等腰直角三角形，由 CD1，得
7、 CEED 22，则 A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D22，1 22，AB(1,0)，AC(1,1)，AD 22 1，1 22，令AD ABAC，则有 22 1，1 22，得 2，1 22，AD 2a1 22 b.规律方法 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算1在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP23CA13CB，Q 是 BC的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CM tCP，试求 t 的值解析：CP23CA13CB，3CP2CACB，即 2CP2CACBCP，2
8、APPB，即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A)，如图所示A，M，Q 三点共线，设CM xCQ(1x)CAx2CB(x1)AC，而CBABAC，CM x2ABx21 AC.又CPAPAC13ABAC，由已知CM tCP可得，x2ABx21 ACt13ABAC，x2t3，x21t，解得 t34.向量共线的坐标表示(师生共研)例 3(1)设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_(2)(2014 年青岛期中)向量 a13，tan ，b(cos，1)，且 ab，则 cos 2()A13B.13C79D.79答案(1)(4，2)(2)D解析(
9、1)a 与 b 的方向相反且 b(2,1)设 ab(2，)，0，又|a|2 5，42220，即 24，又 0，2，因此 a(4，2)(2)a13，tan ，b(cos，1)，又由 ab 可知13tan cos，即 sin 13，cos 212sin212979.规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10.若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数，当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解2已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.14B.12C1 D2解析：a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得 12.答案：B 3已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，若点 A，B，C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是_解析：因为OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，所以AB(3,1)，BC(m1，m)由于点 A，B，C 能构成三角形，所以AB与BC不共线，而当AB与BC共线时，有3m1 1m，解得 m12，故当点 A，B，C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是 m12.答案：m12