1、第二章学业质量标准检测(A)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1以a(1,2)，b(1，1)为基底表示c(3，2)为(B)Ac4abBca4bCc4bDca4b解析令cxayb，得即ca4b.2下列说法正确的是(D)A两个单位向量的数量积为1B若abac，且a0，则bcCD若bc，则(ac)bab解析A中两向量的夹角不确定；B中若ab，ac，b与c反方向则不成立；C中应为；D中bcbc0，所以(ac)babcbab.3设向量a与
2、b的夹角为，a(2,1)，a2b(4,5)，则cos (D)ABCD解析由已知条件知b(4,5)a(1,2)，cos .4已知向量a(1,3)，b(2，m)，若a与a2b垂直，则m的值为(D)AB1CD1解析a2b(1,3)2(2，m)(3,32m)，a与a2b垂直1(3)3(32m)0，m1.5设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab(A)A1B2C3D5解析本题考查平面向量的模，平面向量的数量积|ab|，|ab|，a2b22ab10，a2b22ab6.联立方程解得ab1，故选A6已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b|等于(B)A5B4C3D1解析|ab|，(ab)21
3、3，即a22abb213，也就是|a|22|a|b|cos |b|213.将120，|a|3，代入可得|b|23|b|40.解之，得|b|4或|b|1(舍去)7点O是ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的(D)A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高线的交点解析由，得0，()0，即0.同理可证，.OBCA，OACB，OCAB，即点O是ABC的三条高线的交点8已知向量ae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae|，则(C)AaeBa(ae)Ce(ae)D(ae)(ae)解析由条件可知|ate|2|ae|2对tR恒成立，又|e|1，t22aet2ae1
4、0对tR恒成立，即4(ae)28ae40恒成立(ae1)20恒成立，而(ae1)20，ae10.即ae1e2，e(ae)0，又ae，e(ae)9在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则(B)AabBabCabDab解析由角平分线的性质得|2|，即有()(ab)从而b(ab)ab.故选B10已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是(C)A1B2CD解析由(ac)(bc)0得ab(ab)cc20，即c2(ab)c，故|c|c|ab|c|，即|c|ab|，故选C11平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(m
5、R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m(D)A2B1C1D2解析本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式cmab(m4,2m2)，ac5m8，bc8m20.由两向量的夹角相等可得，即为，解得m2.12如图所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则()的最小值是(D)A2B0C1D2解析由平行四边形法则得2，故()2，又|2|，且，反向，设|t(0t2)，则()22t(2t)2(t22t)2(t1)210t2，当t1时，()取得最小值2，故选D第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中
6、横线上)13已知平面向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k_11或2_.解析(4k，7)，(10k，k12)A，B，C三点共线，(4k)(k12)7(10k)0，k29k220，k11或k2.14已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.解析本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算由ab0，有ba，于是|b|a|，由b(2,1)，可得|b|，又|a|1，故|.15已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2，若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析由题可知，不妨设e1(1,0)，e2(，)，设b(x，y)，则be1x1，be2x
7、y1，所以b(1，)，所以|b|.16如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_2_.解析连接AO，()(mn)，(1).，这样与都可以用，表示出来又因为与共线，利用共线向量定理得，即(1)，1(mn)0，mn2.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120.求：(1)(2ab)(a3b)；(2)|ab|.解析ab|a|b|cos 12023()3.(1)(2ab)(a3b)2a25ab3b28152734.(2)|a
8、b|.18(本小题满分12分)已知|a|1，|b|.(1)若ab，求ab；(2)若a，b的夹角为60，求|ab|；(3)若ab与a垂直，求a与b的夹角解析设向量a与b的夹角为.(1)若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 011.若a与b反向，则180，ab|a|bcos 1801(1).(2)|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 60|b|2121()23.|ab|.(3)(ab)a，(ab)aa2ba0.aba21.cos .0180，45.19(本小题满分12分)已知A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且，.(1)求E，F的坐标；(2
9、)判断与是否共线解析(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)依题意得(2,2)，(2,3)，由可知(x11，y1)(2,2)，即解得E点的坐标为(，)由可知(x23，y21)(2,3) 解得F点的坐标为(，0)，即E点的坐标为(，)，F点的坐标为(，0)(2)由(1)可知(，0)(，)(，)(O为坐标原点)，又(4，1)，(4，1)，即与共线20(本小题满分12分)已知a(，)，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.解析设向量b(x，y)，则ab(x，y)，ab(x，y)，由题意可知，0，|，从而有解之得或所以b(，)或b(，)21(本小题满分12分)已知向量a(2
10、sin x,1)，b(2，2)，c(sin x3,1)，d(1，k)，(xR，kR)(1)若x，且a(bc)，求x的值；(2)若函数f(x)ab，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k，使得(ad)(bc)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)bc(sin x1，1)，又a(bc)，(2sin x)sin x1，即sin x.又x，x.(2)a(2sin x,1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sin x)22sin x2.又xR，当sin x1时，f(x)有最小值，且最小值为0.(3)ad(3sin x,1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3sin x)(sin x1)(1k)0，ksin 2x2sin x4(sin x1)25.由sin x1,1，5(sin x1)251，得k5,1存在k5，1，使得(ad)(bc)22(本小题满分12分)如图所示，OAB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于P，用向量a，b表示.分析先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值解析.设m，n，则mam(ba)(1m)amb，nbn(ab)(1n)bna.a，b不共线，ab.