1、13两条直线的位置关系1两条直线平行设两条不重合的直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为1，2，则对应关系如下：前提条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直对应关系直线l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21直线l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1l2图示1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴或与y轴重合()(2)斜率相等的两条直线一定平行()(3)若k1k21，则两直线必不垂直()(4)如果两直线垂直，则这两条
2、直线的倾斜角可能相等()答案：(1)(2)(3)(4)已知A(2，0)，B(3，3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A3B3CD解析：选B.因为kAB3，且lAB，所以kkAB3.3过点A(m，1)，B(1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(5，0)的直线垂直，则m_解析：由题意得，直线AB的斜率存在且kABkPQ1.即1，解得m2.答案：24与直线x2y30平行，且在y轴上的截距等于3的直线的方程为_解析：设所求直线方程为x2yc0，令x0得y3，所以c6，因此所求直线方程为x2y60.答案：x2y601对两条直线平行的判定条件的三点说明(1)l1l2k1k2须具备的前提条件有两个：两
3、条直线的斜率都存在；两条直线不重合，即b1b2.(2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时，由于它们的倾斜角都是90，故它们也互相平行(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论：l1l2k1k2或l1与l2的斜率均不存在2判定两条直线垂直时需注意的两个问题(1)斜率都存在且乘积为1.(2)若两条直线中，一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零，则两条直线垂直这样，两条直线垂直的判定的条件就可叙述为：l1l2k1k21或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零平行条件的应用根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行：(1)l1经过点A(2，1)，B(3，5)，l2经过点C(3，3)，
4、D(8，7)；(2)l1经过点E(0，1)，F(2，1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；(3)l1：3x5y60，l2：6x10y30；(4)l1：x2，l2：x4.解(1)由题意知，k1，k2，因为k1k2且A，B，C，D四点不共线，所以l1l2.(2)由题意知，k11，k21，虽然k1k2，但是E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合(3)将两条直线方程分别化为斜截式为l1：yx，l2：yx，则l1的斜率k1，l1在y轴上的截距b1，l2的斜率k2，l2在y轴上的截距b2.因为k1k2，b1b2，所以l1l2.(4)由方程知l1x轴，l2x轴，且两条直线在x轴上的截距不相等，所以
5、l1l2.(1)判断两直线的平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等教材中的平行条件只有在斜率都存在的情况下方可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断(2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件：同位角相等，则两直线平行(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合(如本例第(2)题) 1.已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标解：设D(m，n)，由题意，得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC.所以解得所以点D的坐标为(3，4)垂直条件的应用根据下列给
6、定的条件，判断直线l1与l2是否垂直(1)l1经过点A(1，2)，B(1，2)，l2经过点M(2，1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1：3x6y140，l2：2xy20；(4)l1：y3，l2：x1.解(1)k12，k2，因为k1k21，所以l1与l2不垂直(2)k110，k2，因为k1k21，所以l1l2.(3)将两条直线方程分别化为斜截式为l1：yx；l2：y2x2，则l1的斜率k1，l2的斜率k22.因为k1k21，所以l1l2.(4)由方程知l1y轴，l2x轴，所以l1l2.判定两直线是否垂直的两种方法(1)若两直线方程是一般
7、式的形式，利用A1A2B1B20判定(2)若两直线方程不是一般式，可先求出斜率，利用k1k21判定较简单，但应注意数形结合注意公式k1k21成立的条件，特殊情形时要数形结合，作出判断 2.(1)过点(，)，(0，3)的直线l1与过点(，)，(2，0)的直线l2的位置关系为()A相交但不垂直B垂直C平行 D重合(2)直线l1过点(2m，1)，(3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，2)，若l1与l2垂直，求实数m的值解：(1)选B.过点(，)，(0，3)的直线l1的斜率为k1，过点(，)，(2，0)的直线l2的斜率为k2，则k1k2()()1，故选B.(2)当两直线斜率都存在，即m且m1时，有
8、k1，k2.因为两直线互相垂直，所以1.所以m1.当m1时，k10，k2不存在，此时亦有两直线垂直当2m3，m时，k1不存在，k2，l1与l2不垂直综上可知实数m1.平行与垂直的综合应用已知A(2，1)，B，C(5，0)，点D满足CDAB，且BCAD，则点D的坐标为_解析设D(x，y)，则kCD，kAB5，kBC1，kAD.因为CDAB，BCAD，所以解得所以D(0，1)答案(0，1)若将本例中的四点坐标更换为A(4，2)，B(6，1)，C(3，3)，D(1，0)，则四边形ABCD的形状为_解析：由已知得kABkCD，kADkBC，kABkAD1，所以BCAD，ABDC，ADAB，所以四边形A
9、BCD为矩形，又由kAC5，kBD知kACkBD1，所以ACBD，故四边形ABCD是正方形答案：正方形(1)四边形形状的判断，一般是从对边是否平行、相等，邻边是否垂直、相等进行判断(2)对于三角形形状的判断，一般是从两边所在直线是否垂直，邻角是否相等进行判断 3.(1)已知直线l1：ax3y10，l2：x(a2)ya0，当a_时，l1l2；当a_时，l1l2.(2)已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形解：(1)对于l1：yx，若l1l2，则直线l2的斜率kl2存在所以l2：yx.所以解得a3.对于l1：yx，若
10、l1l2，则直线l2的斜率kl2也存在所以l2：yx.所以1，解得a.故填3和.(2)因为四边形ABCD是直角梯形，所以有两种情形：ABCD，ABAD，由图可知：A(2，1)ADBC，ADAB，所以综上或易错警示利用两直线平行求参数时漏解或增解致误已知直线l1：ax(a21)y10，l2：2x(a1)y10，若l1l2，则实数a的值为_解析由题意可得：当a10即a1时，直线l1为x1，直线l2为x，两直线平行；当a10时，由，解得a2，当a2时，两直线重合，不符合题意故a2舍去答案1本题易漏掉a10的情形导致错解；再就是没有验证两直线是否重合致误利用两直线平行求参数时，要注意直线的斜率不存在时
11、的情况是否符合题意，否则会漏解求出参数值后，一定要进行验证是否有重合的情况1若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为1，2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：若l1l2，则斜率k1k2；若斜率k1k2，则l1l2；若l1l2，则倾斜角12；若倾斜角12，则l1l2.其中正确说法的个数是()A1B2C3 D4解析：选B.需考虑两条直线重合的情况，都可能是两条直线重合，所以正确故选B.2以A(1，1)，B(2，1)，C(1，4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形解析：选C.kAB，kAC，所以kABkAC1，所以ABAC，A为
12、直角故选C.3已知直线l的倾斜角为20，直线l1l，直线l2l，则直线l1与l2的倾斜角分别是_解析：因为l1l，所以l1的倾斜角为20.因为l2l，所以l2的倾斜角为2090110.答案：20，1104若点P(a，b)与Q(b1，a1)是关于直线l对称的两点，则直线l的倾斜角为_解析：因为P、Q是不同的两点，所以ab1.则kPQ1，又因为P、Q两点关于直线l对称，所以lPQ，所以直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为45.答案：45,学生用书P121(单独成册)A基础达标1设点P(4，2)，Q(6，4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论：PQSR；PQPS；PSQS；PRQS.其
13、中正确的个数是()A1B2C3 D4解析：选C.由斜率公式知kPQ，kSR，kPS，kQS4，kPR，所以PQSR，PQPS，PRQS.而kPSkQS，所以直线PS与QS不平行，正确，故选C.2过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：选A.直线x2y20的斜率为，所以所求直线的斜率为.故所求直线方程为y0(x1)，即x2y10.3已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A4x2y50 B4x2y50Cx2y50 Dx2y50解析：选B.因为kAB，所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点为，故线段A
14、B的垂直平分线方程为y2(x2)，即4x2y50.4直线l1的斜率k1，直线l2经过点A(1，2)，B(a1，3)，l1l2，则a的值为()A3 B1C. D解析：选C.因为l2的斜率k2，且l1l2，所以k1k2，即，所以a.5已知点A(2，3)，B(2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：选B.如图所示，易知kAB，kBC0，kCD，kAD0，kBD，kAC，所以kABkCD，kBCkAD，kABkAD0，kACkBD，故ADBC，ABCD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直所以四边形ABCD为平行四边形6已知直
15、线l1：2x(1)y20，l2：xy10，若l1l2，则的值是_解析：因为l1l2，所以21(1)0，即220，解得2或1.当1时，l1与l2重合，不符合题意所以2.答案：27已知ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m_解析：设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由ADBC得kADkBC1，所以1m.答案：8已知点P(0，1)，点Q在直线xy10上，若直线PQ垂直于直线x2y50，则点Q的坐标是_解析：依题意设点Q的坐标为(a，b)，则有解得故点Q的坐标为(2，3)答案：(2，3)9已知定点A(1，3)，B(4，2
16、)，以A，B为直径作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标解：因为以线段AB为直径的圆与x轴相交于点C，所以ACCB.据题设条件可知AC与BC的斜率均存在(如图)，设C(x，0)，则kAC，kBC.所以1，解得x1或2.所以C(1，0)或C(2，0)10已知在ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)(1)求点D的坐标；(2)试判定ABCD是否为菱形？解：(1)设D(a，b)，由ABCD，得kABkCD，kADkBC，即解得所以D(1，6)(2)因为kAC1，kBD1，所以kACkBD1.所以ACBD.所以ABCD为菱形B能力提升11已知点A(0，1)，O(0，0)，点B的横坐标与纵坐标满
17、足xy0.若ABOB，则点B的坐标是()A. BC(1，1) D(1，1)解析：选A.设B的坐标为(x，x)，因为ABOB，所以1且x0，所以x，所以点B的坐标为.12若直线l经过点(a2，1)和(a2，1)且与直线2x3y10垂直，则实数a的值为_解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l与斜率为的直线垂直，则直线l的斜率为，于是，解得a.答案：13直线l的倾斜角为30，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，A(1，m1)，B(m，2)，试求m的值解：因为直线l1的倾斜角为303060，所以
18、直线l1的斜率k1tan 60.又直线AB的斜率为，所以AB的垂直平分线l2的斜率k2.因为直线l1与l2平行，所以k1k2，即，解得m4.14(选做题)已知过原点O的一条直线与函数ylog8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数ylog2x的图象交于C，D两点(1)证明：点C，D和原点O在同一直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标解：(1)证明：设A，B两点的坐标分别为(x1，log8x1)，(x2，log8x2)由题意得C，D两点的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)因为O，A，B三点共线，所以kOAkOB，所以，所以，所以，所以，即kOCkOD.又因为直线OC与直线OD有公共点O，所以点C，D和原点O在同一直线上(2)因为BC平行于x轴，所以kBC0，所以log8x2log2x1，log2x1，log2x23log2x1，所以x2x.由第一问知，所以xlog2x1x1log2x，所以xlog2x13x1log2x1，(x3)x1log2x10.又x10，所以log2x10或x30，所以x11或x1(负值舍去)经检验x11时，A，B两点重合，不合题意，舍去，所以点A的坐标为(，log8)