1、第八节 n次独立重复试验与二项分布最新考纲展示 1了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题一、条件概率及其性质1条件概率对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫作 条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A)PABPA.在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)nABnA.2条件概率具有的性质(1)01.(2)如果B和C是两互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(B|A)P(C|A)二、相互独立事件1对于事件A，B，若A的发生与B的发生
2、互不影响，则称2若A与B相互独立，则P(B|A)，P(AB)P(B|A)P(A)3若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立4若P(AB)P(A)P(B)，则A、B是相互独立事件P(B)P(A)P(B)A与B相互独立BBAA三、独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为概率相同XB(n，p)成功1运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立2独立重复试验中，每一次试
3、验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件一、条件概率与相互独立事件1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.()答案：(1)(2)(3)(4)2(2014年高考新课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量
4、为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6D0.45解析：根据条件概率公式 P(B|A)PABPA，可得所求概率为 0.60.750.8.答案：A二、二项分布3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中的ap，b1p.()(2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布()答案：(1)(2)答案：C4
5、某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是()A.12125B.16125C.48125D.96125解析：用 X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布 B3，45，P(X2)C23452151 48125.例1(1)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()条件概率(自主探究)A.310 B.29C.78D.79(2)盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球
6、；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为()A.23B.13C.1116D.516(3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_.解析(1)设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第2 次抽到的是卡口灯泡”，则 P(A)310，P(AB)31079 730.则所求概率为 P(B|A)PABPA 73031079.(2)记“取到蓝球”为事件 A，“取到玻
7、璃球”为事件 B，则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是 B 发生的条件下 A 发生的条件概率，记作 P(A|B)因为 P(AB)41614，P(B)61638，所以 P(A|B)PABPB143823.(3)由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A)S正方形EFGHS圆O 2 212 2.事件 AB 表示“豆子落在EOH 内”，则 P(AB)SEOHS圆O 121212 12.故 P(B|A)PABPA 12214.答案(1)D(2)A(3)14规律方法 条件概率的求法：(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)PABPA，求 P(B|A)(2)基本事件法：借古典概型
8、概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nABnA.例2(2014年高考陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：相互独立事件的概率(师生共研)(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解析(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，利润产
9、量市场价格成本，X所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P(A)P(B)(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P(A)P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以 X 的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2)设 Ci
10、表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i1,2,3)，由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2,3)，3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为P(C 1C2C3)P(C1 C 2C3)P(C1C2 C 3)30.820.20.384，所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为05120.3840.896.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局
11、中乙当裁判的次数，求X的数学期望解析：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”则AA1A2，1(2013 年高考大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第 1 局甲当裁判P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)14.(2)X 的可能取值为 0,1,2.记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙”，B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，
12、结果为乙胜甲”，B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负”则 P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)18，P(X2)P(B 1B3)P(B 1)P(B3)14，P(X1)1P(X0)P(X2)1181458，故 E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)98.例3(2014年高考湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应
13、段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：独立重复试验与二项分布(师生共研)年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解析(1)依题意，p1P(40 x120)5500.1.由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 pC04(1p3)4C14(1p3)3p3910
14、449103 1100.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8；由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的
15、情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台规律方法(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生
16、的概率都是一样的(2)二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望2(2013 年高考山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立解析：(1)记“甲队以 30
17、 胜利”为事件 A1，“甲队以 31 胜利”为事件 A2，“甲队以 32 胜利”为事件 A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P(A1)233 827，P(A2)C23232123 23 827，P(A3)C24232123212 427.所以甲队以 30 胜利，以 31 胜利的概率都为 827，以 32 胜利的概率为 427.(2)设“乙队以 32 胜利”为事件 A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 P(A4)C241232232112 427.由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)1627，又 P(X1)P(A3)427，P(X2)P(A4)427，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)327，故X的分布列为所以 E(X)016271 4272 4273 32779.