1、第六节 双曲线最新考纲展示 1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用 3.理解数形结合的思想一、双曲线的定义二、双曲线的标准方程和几何性质1双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|，则轨迹不存在2双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若 ab0，则双曲线的离心率 e(1，2)；若 ab0，则双曲线的离心率 e 2；若 0a 2.3注意区分双曲线与椭圆中的 a，b，c 的大小关系：在椭圆中 a2b2c2，而在双曲线中 c2a2b2.4易忽视渐近线的斜率
2、与双曲线的焦点位置关系当焦点在 x 轴上，渐近线斜率为ba，当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为ab.一、双曲线的定义与方程1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(3)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()答案：(1)(2)(3)答案：C2设 F1，F2 是双曲线 x2y2241 的两焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2 的面积等于()A4 2 B8 3C24 D4
3、8解析：由3|PF1|4|PF2|，|PF1|PF2|2.解得|PF1|8，|PF2|6.又|F1F2|10，PF1F2 为直角三角形S126824.3(2014 年高考北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2)，且与y24x21 具有相同渐近线，则 C 的方程为_；渐近线方程为_解析：根据题意，可设双曲线 C：y24x2，将(2,2)代入双曲线 C的方程得 3，C 的方程为x23y2121.渐近线方程为 y2x.答案：x23y2121 y2x答案：(1)(2)二、双曲线的几何性质4判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)(教材习题改编)双曲线x216y2m1 的离心率为54，则 m
4、 等于 9.()(2)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等5(2013 年高考湖北卷)已知 04，则双曲线 C1：x2cos2 y2sin21与 C2：y2sin2x2sin2 tan21 的()答案：D解析：0，4 时，0sin cos 1，0tan 1，故实轴长，虚轴长均不相等焦距分别为 2 和 2 sin21tan22 sin2cos22tan 2a.又A(5,0)在线段 PQ 上，P，Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|PF|PA|2a6，|QF|QA|2a6，|PF|QF|28.PQF 的周
5、长是|PF|QF|PQ|281644.规律方法(1)应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混考情分析 从近三年来的高考分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率渐近线方程、焦点三角形等知识，均以客观题形式出现，难度中等偏下归纳起来常见的命题角度有：(1)求渐近线方程(2)求离心率(3)求离心率的范围(4)与焦
6、点三角形有关的问题双曲线的几何性质(高频研析)角度一 求渐近线方程1(2014 年高考山东卷)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1 与 C2 的离心率之积为 32，则 C2 的渐近线方程为()Ax 2y0 B.2xy0Cx2y0 D2xy0答案：A解析：由题意，知椭圆 C1 的离心率 e1 a2b2a，双曲线 C2 的离心率为 e2 a2b2a.因为 e1e2 32，所以 a2b2a2b2a2 32，即a2b2a2b2a434，整理可得 a 2b.又双曲线 C2 的渐近线方程为 bxay0，所以 bx 2by0，即 x 2y0.角
7、度二 求离心率2(2014 年高考重庆卷)设 F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D3答案：B解 析：设|PF1|m，|PF2|n，依 题 意 不 妨 设 mn0，于 是 mn3b，mn2a，mn94ab.mn94mn3mn2m3nm13n舍去.an，b43nc53n，e53，选 B.角度三 求离心率的范围3(2013年高考重庆卷)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A
8、2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.2 33，2 B.2 33，2C.2 33，D.2 33，解析：如图，由双曲线的对称性知|OA1|OB1|，|OA2|OB2|，|A1B1|A2B2|，|OA1|OB1|OA2|OB2|，不妨设双曲线的焦点在 x 轴上有且只有一对相交于 O，所成角为 60的直线 A1B1 和 A2B2，33 ba 3.eca1b2a2，2 33 a，所以在PF1F2中，PF1F2为最小内角，角度四 与焦点三角形有关的问题4设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C
9、上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2 的最小内角为 30，则 C 的离心率为_因此PF1F230，在PF1F2 中，由余弦定理可知，|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 30，即 4a216a24c28 3ac.所以 c22 3ac3a20，两边同除以 a2 得，e22 3e30.解得 e 3.答案：3规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围；另一种是建立 a，b，c 的齐次关系式，将 b 用 a，e 表示，令两边同除以 a 或 a2 化为
10、e 的关系式，进而求解(2)求曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线的方法是令x2a2y2b20，即得两渐近线方程xayb0.直线与双曲线的位置关系(师生共研)例 2 已知椭圆 C1 的方程为x24y21，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点(1)求双曲线 C2 的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA OB 2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围解析(1)设双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，(a0，b0)，则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21
11、.故 C2 的方程为x23y21.(2)将 ykx 2代入x23y21，得(13k2)x26 2kx90.由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得13k20.6 2k23613k2 361k20，k213且 k22，得 x1x2y1y22，3k273k212，即3k293k21 0，解得13k23，由得13k21.故 k 的取值范围为1，33 33，1.规律方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入(2)与中点有关的问题常用点差法注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率
12、的关系来判断直线与双曲线的位置关系 过双曲线x23y261 的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于A，B 两点，O 为坐标原点，F1 为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB 的面积解析：(1)由双曲线的方程得 a 3，b 6，ca2b23，F1(3,0)，F2(3,0)直线 AB 的方程为 y 33(x3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 y 33 x3，x23y261，得 5x26x270.x1x265，x1x2275.|AB|1k2|x1x2|1332 x1x224x1x24336251085 16 35.(2)直线 AB 的方程变形为 3x3y3 30.原点 O 到直线 AB 的距离为d|3 3|323232，SAOB12|AB|d1216 353212 35.