1、学案74不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式导学目标： 1.理解不等式的基本性质.2.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式的性质：|ab|a|b|.3.求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c(c0)自主梳理1不等式的基本性质(1)对称性：如果ab，那么ba；如果bb.即ab_.(2)传递性：如果ab，bc，那么_即ab，bc_.(3)可加性：如果_，那么acbc，如果ab，cd，那么acbd.(4)可乘性：如果ab，c0，那么_；如果ab，cb0，cd0，那么acbd.(5)乘方：如果ab0，那么an_bn(nN，n1)(6)开方：如果ab0，那么
2、(nN，n1)2形如|axb|c(c0)的不等式的解法(1)换元法：令taxb，则|t|c，故tc或tc或axbc(c0)或.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号3形如|xa|xb|c的绝对值不等式的解法(1)运用绝对值的几何意义(2)零点分区间讨论法(3)构造分段函数，结合函数图象求解4绝对值不等式的性质|a|b|ab|a|b|.自我检测1若xy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_2(2011天津)已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，则集合AB_.3(201
3、0潍坊一模)已知不等式|x2|x3|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是_4若不等式|x1|x2|a无实数解，则a的取值范围是_5(2009福建)解不等式|2x1|x|1.探究点一绝对值不等式的解法例1 解下列不等式：(1)17x；(3)|x1|2x1|2.变式迁移1 (1)(2011江苏，21D)解不等式x|2x1|2；求函数yf(x)的最小值探究点二绝对值的几何意义在不等式中的应用例2已知不等式|x2|x3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为.分别求出实数m的取值范围变式迁移2设函数f(x)|x1|x2|，若f(x)a对xR恒成立，求实数a的取值范围探究
4、点三绝对值三角不等式定理的应用例3“|xA|，且|yA|”是“|xy|”(x，y，A，R)成立的_条件变式迁移3(1)求函数y|x2|x2|的最大值；(2)求函数y|x3|x2|的最小值转化与化归思想的应用例(10分)设aR，函数f(x)ax2xa (1x1)，(1)若|a|1，求证：|f(x)|；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.多角度审题第(1)问|f(x)|f(x)，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|；二是证明f(x)亦可第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值由于x1,1，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间1,1上【答
5、题模板】证明(1)方法一1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2分2.若|a|1，则|f(x)|.5分方法二设g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，当x1，即x210时，|f(x)|g(a)|1；1分当1x1即x210时，g(a)(x21)ax是单调递减函数|a|1，1a1，g(a)maxg(1)x2x12；3分g(a)ming(1)x2x12.4分|f(x)|g(a)|.5分(2)当a0时，f(x)x，当1x1时，f(x)的最大值为f(1)1，不满足题设条件，a0.又f(1)a1a1，f(1)a1a1.故f(1)和
6、f(1)均不是最大值，7分f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得，命题等价于，8分解得，9分a2.即当a2时，函数f(x)有最大值.10分【突破思维障碍】由于|a|1，f(x)的表达式中有两项含有a，要想利用条件|a|1，必须合并含a的项，从而找到解题思路；另外，由于x的最高次数为2，而a的最高次数为1，把ax2xa看作关于a的函数更简单，这两种方法中，对a的合并都是很关键的一步【易错点剖析】在第(1)问中的方法一中，如果不合并含a的项，就无法正确应用条件|a|1，从而导致出错或证不出；方法二也需要先合并含a的项后，才容易把f(x)看作g(a)解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主
7、要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2011广东)不等式|x1|x3|0的解集是_2函数y|x4|x6|的最小值为_3不等式3|52x|9的解集为_4不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_5若不等式|8x9|2的解集相等，则实数a、b的值分别为_和_6若关于x的不等式|x1
8、|x3|a22a1在R上的解集为，则实数a的取值范围是_7函数f(x)|x2|x4|的值域是_8(2010深圳一模)若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_二、解答题(共42分)9(14分)(2010福建)已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围10(14分)(2011课标全国)设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值11(14分)对于任意实数a(
9、a0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立，试求实数x的取值范围学案74不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式答案自主梳理1(1)bcac(3)ab(4)acbcac自我检测1解析令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不正确又1，1，因此不正确由不等式的性质可推出成立2x|2x5解析|x3|x4|9，当x3时，x3(x4)9，即4x4时，x3x49，即4x5.综上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，当t时取等号Bx|x2，ABx|2x53a5解析由绝
10、对值的几何意义知|x2|x3|5，)，因此要使|x2|x3|a有解集，需a5.4a3解析由绝对值的几何意义知|x1|x2|的最小值为3，而|x1|x2|a无解，知a3.5解当x0时，原不等式可化为2x10，又x0，x不存在；当0x时，原不等式可化为2x10，又0x，0x；当x时，原不等式可化为2x1x1，解得x2，又x，x2.综上，原不等式的解集为x|0x2课堂活动区例1 解题导引(1)绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号其方法主要有：利用绝对值的意义；利用公式；平方、分区间讨论等(2)利用平方法去绝对值符号时，应注意不等式两边非负才可进行(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去
11、绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值解(1)原不等式等价于不等式组，即，解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1，或37x，可得2x57x或2x52，或x4.原不等式的解集是x|x2(3)由题意x1时，|x1|0，x时，2x10(以下分类讨论)所以当x时，原不等式等价于得x.当x1时，原不等式等价于得x1时，原不等式等价于得x无解由得原不等式的解集为x|x0变式迁移1 解(1)原不等式可化为或解得x或2x.所以原不等式的解集是x|2x2的解集为(，7)(，)由函数y|2x1|x4|的图象可知，当x时，y|2x1|x4|取得最小值.例2
12、解题导引恒成立问题的解决方法(1)f(x)m恒成立，需有f(x)maxm恒成立，需有f(x)minm；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为，即不等式无解解因为|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)、B(3)距离的差即|x2|x3|PAPB.易知(PAPB)max1，(PAPB)min1.即|x2|x3|1,1(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m小于|x2|x3|的最小值即可，所以ma恒成立，只需1a.即实数a的取值范围为(，1)例3解题导引对绝对值三角不等式|a|b|ab
13、|a|b|.(1)当ab0时，|ab|a|b|；当ab0时，|ab|a|b|.(2)该定理可以推广为|abc|a|b|c|，也可强化为|a|b|ab|a|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证(3)利用“”成立的条件可求函数的最值答案充分不必要解析|xy|xA(yA)|，由三角不等式定理|a|b|ab|a|b|得：|xy|xA|yA|.反过来由|xy|，得不出|xA|且|yA|2时，“”成立故函数y|x2|x2|的最大值为4.(2)|x3|x2|(x3)(x2)|5.当2x3时，取“”故y|x3|x2|的最小值为5.课后练习区11，)解析方法一不等式等价转化为|x1|x3|，两边平方得(x1
14、)2(x3)2，解得x1，故不等式的解集为1，)方法二不等式等价转化为|x1|x3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x1，故不等式的解集为1，)22解析y|x4|x6|(x4)(x6)|2，ymin2.3(2,14,7)解析由得，解得2x1或4x7.不等式解集为(2,14,7)4(，14，)解析由|x3|x1|的几何意义知，|x3|x1|4,4，即|x3|x1|的最大值是4，要使|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4恒成立即可所以a(，14，)549解析由|8x9|7，得78x97，2x.由题意知2，为方程ax2bx20的
15、两根，.61a3解析由|x1|x3|的几何意义知|x1|x3|2，即|x1|x3|的最小值为2.当a22a12时满足题意，a22a30，1a0时，a4，当且仅当a2时，取等号，当a0，显然符合题意9解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.(3分)又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(6分)(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|(9分)所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.(12分)从而若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为
16、(，5(14分)方法二(1)同方法一(6分)(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.(10分)从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5(14分)10解(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.(4分)故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(6分)(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或(8分)即或(10分)因为a0，所以不等式组的解集为x|x(12分)由题设可得1，故a2.(14分)11解由题知，|x1|x2|恒成立故|x1|x2|不大于的最小值(2分)|ab|ab|abab|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0时取等号，的最小值等于2.(6分)x的取值范围即为不等式|x1|x2|2的解解不等式得x.(14分)