1、北京市第八中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一选择题(共10道小题，每小题5分，共50分)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据补集概念进行运算即可得解.【详解】因为集合，所以.故选：D2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接代入函数解析式计算可得;【详解】解：因为，所以故选：A【点睛】本题考查函数值的计算，属于基础题.3. 若，则下列四个数中最小的数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据可以推出、都大于1，故可得答案.【详解】因为，所以，所以四个数中最小的数是.故选：D
2、【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键.4. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断；【详解】解：命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，故其否定为：故选：C【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.5. 函数在区间上递减，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数单调性列式可得结果.【详解】因为函数在区间上递减，所以，即.故选：B【点睛】关键点点睛：掌握二次函数的单调性是解题关键.6. 已知a，b为实数，则“a+b4”是“a，b中至
3、少有一个大于2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】“a+b4”可得“a，b中至少有一个大于2”，反之若a=3,b=1,则a+b4不成立 “a+b4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7. 下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是（ ）A. Mx|xZ，Ny|yZ，对应关系f：xy，其中B. Mx|x0，xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中y2
4、xC. Mx|xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中yx2D. Mx|xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义作出判断即可.【详解】AM中的一些元素，在N中没有元素对应，比如，x3时，y不是x的函数；BM中的任意元素x，在N中有两个元素2x与之对应，不满足对应的唯一性，y不是x的函数；C满足在M中的任意元素x，在集合N中都有唯一元素x2与之对应，y是x的函数；DM中的元素0，通过在N中没有元素对应，y不是x的函数故选：C【点睛】本题主要考查了函数关系的判断，属于中档题.8. 设xR，定义符号函数，则函数=的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案
5、】C【解析】函数f（x）=|x|sgnx=x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故答案为C9. 设函数f(x)=在R上是增函数，则a的取值范围是（ ）A. (-，3B. ( -，2)C. (-，2D. 2，3【答案】C【解析】【分析】利用分段函数是增函数，两段函数都递增列出不等式组，求解即可【详解】函数在上是增函数，可得：，解得故实数的取值范围是，故选：【点睛】本题考查分段函数的单调性、二次函数的单调性，注意各段函数单调性的应用，属于易错题10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的
6、是（ ）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图
7、象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二填空题11. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】由解得结果即可得解.【详解】要使函数有意义，只需，解得且，所以函数定义域为.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域方法：1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
8、3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.12. 设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4，则f（x）=_【答案】4x【解析】【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1），从而得出f（x）=4x【详解】由题意得，f（x-1）=4x-4=4（x-1）， f（x）=4x故答案为：4x【点睛】本题考查了换元法求
9、函数解析式的方法，属于基础题13. 给出下列三个函数：； 其中与函数相同函数的序号是_【答案】【解析】【分析】依次判断函数的定义域、解析式是否与已知函数的定义域、解析式都相同，找出相同函数【详解】的定义域为，与定义域不同，与定义域、解析式均相同，与解析式不同， 故选【点睛】判断两个函数是否为相同函数，只要比较两个函数的定义域，对应关系是否都相同，如果都相同就是相同函数14. 已知为R上的奇函数，时，则_【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得，再由已知的解析式求出即可【详解】解：因为为R上的奇函数，所以，因为当时，所以，所以，故答案为：15. 已知函数，若在上的值域为，则_.【答案】.【解析
10、】【分析】根据函数在上单调递增，求出函数的最值，列方程组可解得结果.【详解】由题意知函数在上单调递增，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了由函数解析式得单调性，根据单调性求最值，属于基础题.16. 若关于x的不等式的解集是，则_【答案】1【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a，b即可【详解】关于x的不等式ax2+x+b0的解集是（-1，2），-1，2是方程ax2+x+b=0的两个根，-1+2=-，-12=，解得a=-1，b=2；a+b=-1+2=1故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等
11、式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值17. 已知，且，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】将化为后，根据基本不等式可求得结果.【详解】因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18. 二次
12、方程的一个根大于1，另一个根小于1，则的取值范围是_【答案】或【解析】【详解】令y=2mx22x3m2当m0时，由题意：x=1时，y0，2m23m20，m4，m0，当m0时，x=1时，y0，2m23m20，m4，综上所述，二次方程2mx22x3m2=0的一个根大于1，另一个根小于1时，m4或m0故答案为或19. 已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意，可知函数在定义域内不是单调函数，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性，即可得到结论.【详解】由题意可得函数在定义域内不是单调函数，由函数为增函数，且时，则时，或，解得或，即实数的取值范围是.【点睛
13、】本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中根据题意得出分段函数不是单调函数，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三解答题20. 已知函数，有下列结论：，等式恒成立；，方程有两个不等的实根；，若，则一定有；存在无数多个实数，使得函数在上有三个零点则其中正确结论的序号为?【答案】【解析】【分析】根据与的解析式代入运算可知正确；取可知错误；分析函数的单调性可知正确，由，当时，在和内都必有一个零点，可知正确.【详解】对于，正确；对于，当时，即只有一个实根，错误；对于，任取，则，因为，所以，所以，所以在上为增函数，又由知，为奇函数，所
14、以在上为增函数，所以正确；对于，因为，所以恒是的一个零点，当，时，必有一个解，当时，也必有一解，所以正确，综上所述：正确结论的序号为.【点睛】关键点点睛：对于，判断出函数的单调性是解题关键；对于，分和两种情况判断零点是解题关键.21. 已知全集，集合，（1）求；（2）已知集合，若，求实数a的取值范围【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）根据交集和补集的概念运算可得解；（2）根据子集关系列式可解得结果.【详解】（1）或，或，所以， 或.（2）因为，所以或，即或.【点睛】关键点点睛：熟练掌握集合的交集、补集和子集的概念是解题关键.22. 已知函数（1）画出函数，的图象（2）讨论当k为何范
15、围时，方程在上的解集为空集、单元素集、双元素集【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据解析式作出图象即可；（2）依题意转化为函数，的图象与直线的交点个数进行求解，根据（1）中的图象可得结果.【详解】（1）函数，的图象为：（2）依题意转化为函数，的图象与直线的交点个数进行求解，根据（1）中的图象可得：当或时，方程在上的解集为空集；当或时，方程在上的解集为单元素集；当时，方程在上的解集为双元素集.【点睛】关键点点睛：第二问转化为函数，的图象与直线的交点个数进行求解是解题关键.23. 已知函数(1)判断奇偶性并证明(2)当时，判断的单调性并证明(3)在(2)的条件下，若实数
16、满足，求的取值范围【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2) 函数是上的单调增函数，证明见解析；(3).【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断并证明即可；(2)根据函数单调性的定义判断并证明即可；(3)在(2)的条件下，根据函数单调性的性质可得，解不等式即可求出的取值范围【详解】(1) 函数是奇函数.证：函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数；(2) 函数是上的单调增函数.证：任取且，则，因为，所以，所以，即，所以函数是上的单调增函数.(3)由(2)知函数是上的单调增函数，所以，解得,所以的取值范围为.【点睛】思路点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不
17、等式转化成的形式；(2)考查函数的单调性；(3)根据据函数在给定区间上的单调性去掉法则“”，转化为形如“”或“”的常规不等式，从而得解24. 已知函数，（1）当时，求在区间上的最大值和最小值（2）解关于x的不等式（3）当时，若存在，使得，求实数m取值范围【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）答案见解析；（3）或.【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性可求得结果；（2）化为后，先对分类讨论，再对与分类讨论可得结果；（3）转化为在上的最大值大于0，根据二次函数的知识求出最大值，再解关于的不等式可得结果.【详解】（1）当时，在上递减，在上递增，所以的最小值为，最大值为.（2）可化为，即，当时，不等式化为，解得或；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，当，即时，解得；当，即时，不等式无解；当，即时，解得.综上所述：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为空集；当时，不等式的解集为.（3）当时，若存在，使得，则在上的最大值大于0，因为的图象的开口向下，对称轴，所以，所以，即，即，解得或.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则；