1、2019-2020学年天津市南开中学滨海生态城学校高二第二学期期中数学试卷一、单选题（共12小题）.1.为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ）A. 0.97B. 0.86C. 0.65D. 0.55【答案】A【解析】【分析】在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解【详解】由题意，四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越
2、好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97故选：A【点睛】本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题2. 函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A. 无极大值点，有四个极小值点B. 有三个极大值点，两个极小值点C. 有两个极大值点，两个极小值点D. 有四个极大值点，无极小值点【答案】C【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与有四个交点，其中两个极大值，两极小值.考
3、点：函数的极值.3.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女，结果如表.非一线一线总计愿生不愿生总计附表：由算得，参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”D. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”【答案】B【解析】分析：根据独立性检验求得值，与临界值比较，即可判断是否有关详解：根据所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，或在犯错误
4、的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”所以选B点睛：本题考查了独立性检验的基本内容，主要是注意两种不同回答方式，属于简单题4.已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用表示，那么的取值为（ ）A. 0，1B. 1，2C. 0，1，2D. 0，1，2，3【答案】C【解析】【分析】利用已知条件，可直接推出的取值，得到答案【详解】由题意，从8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品件数为随机变量，可得随机变量的取值可以是0，1，2故选：C【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的取值的判断及求解，其中解答中正确理解题意是解答的关键，属于基础题5.已知X的分布列为
5、X101P 且YaX+3，E（Y），则a为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，YaX+3，求出a即可【详解】先求出（1）01再由YaX+3得a（）+3，解得a2故选：B【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望及期望的性质，考查了基本运算的能力，属于基础题6.设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有( )A. 12，12B. 12，12C. 12，12D. 12，12【答案】A【解析】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以12，12.故
6、选A.考点：正态分布.7.从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的计算方法，先求出取两次球，第一次取到红球的取法数，然后求出第一、二次都取得红球的取法数，代入公式，即可求解【详解】因为从装由3个红球2个白球的袋子中，所以先后取2个球，取后不放回，则第一次取到红球的取法数，共有，第一、二次都取到红球的取法数，共有，故第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为P故选：C【点睛】本题主要考查条件概率的计算方法，以及计数原理的应用，其中解答中要注意对条件概率的理解与
7、计算方法，着重考查了分析问题和解答问题的能力8.设函数，若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，由知，所以.考点：利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，由知的零点，所以g（a）lna+a23g（1）ln1+1320，f（b）eb+b2f（1）e+12e10即.9.4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（ ）A.
8、 81B. 64C. 24D. 16【答案】A【解析】【分析】利用排列、组合中的乘法原理求得结果【详解】解：每名同学都有3种报名方案，四名同学共有333381种报名方案故选：A【点睛】本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题10.（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得x3的系数为，故选A【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数11.已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）A. B.
9、 C. D. 【答案】B【解析】函数f（x）=ex-mx+1的导数为f（x）=ex-m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有有解，即 由ex0，则m则实数m的范围为故选B12.若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知且，故函数最多两个零点，故函数必须有零点，而函数是单调函数，故函数最多有一个零点，所以得出函数必须有一个零点，函数必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出的范围【详解】解：由题意可知且，当时，函数的导函数为，所以函数在为减函数，在为增函数，故函数最多两个零点；而当时，函数是单调函数，故函数最多有
10、一个零点；根据上述分析可以得出：函数必须有两个零点，函数必须有一个零点当时，在函数中，因为，故，解得，当时，当时，函数是单调递减，不满足题意，当时，函数是单调递增，因为在时有一个零点，则，解得：综上：，故选C【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进行求解，属于较难题二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.，若，则_【答案】1【解析】【分析】先求导数，然后根据，列出方程，即可求解的值，得到答案【详解】由题意，函数，可得，因为，可得，即，解得.故答案为：.【点评】本题主要考查了考查导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算法则，准确运算是解答
11、的关键，属于基础题14.已知随机变量服从正态分布N（3，2），且P（2）0.85，则P（34）_【答案】0.35【解析】【分析】由已知求得，再由正态分布曲线的对称性求得P（23），则答案可求【详解】解：随机变量服从正态分布N（3，2），3，P（2）0.85，P（23）0.850.50.35，则P（34）P（23）0.35.故答案为：0.35【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，属于基础题15.要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是_【答案】60【解析】【分析】直接用排列数公式计算.【详解】根据排列的定义，可知一共有54360种故答案
12、为：60【点评】本题主要考查排列的应用考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力，属于容易题.16.（）6的展开式中常数项是_【答案】-160【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项【详解】展开式的通项为Tr+1令3r0得r3所以展开式的常数项为160故答案为：160【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具17.若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_【答案】4【解析】f(x)x3x2ax4，f(x)x23xa.又函数f(x)恰在1,4上单调递减，1,4是f(x)0的两根，a144.18.袋中装有2个红球，3个黄
13、球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是_【答案】【解析】【分析】每次取到黄球的概率均为，利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率【详解】 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率均为，3次中恰有2次抽到黄球的概率为：P故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题题19.已知f（x）lnx，g（x）x2+mx（m0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1），则
14、m的值为_【答案】【解析】【分析】由题意，g（x）x+m（m0），从而可得直线l的斜率为，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令0即可求出m的值.【详解】解：由题意， 故直线l的斜率为，切点为（1，0）；故直线l的方程为yx1；即xy10；由x2+mxy，yx1消y得，x2+2（m1）x+90,故，解得，m2（m0）；故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（3）0，则不等式xf（x）0的解集是_【答案】（，3）（3，+）【解析】【分析】令，当x0时，
15、可得x（0，+）上，函数单调递增由，可得由函数是定义在R上的奇函数，可得函数是定义在R上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令，当x0时，x（0，+）上，函数单调递增，函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上偶函数由，即，|x|3，解得x3，或x3不等式的解集是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.每年9月第三个公休日是全国科普日某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”
16、和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数（）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；（）求随机变量分布列及数学期望【答案】（）（）分布列见解析，1.【解析】【分析】（）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，利用古典概型求解即可（）由题意可知；求出概率可得到的分布列，再由期望公式即可求得期望【详解】（）根据古典概型概率求法，可设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，则选中2道“生态环保题”，则，（）由题意可知；则，所以的分布列为：012 故的期望【点睛】本题考查古典概型概率求法，离散型随机变量的分布列及数学期望的求
17、法，属于基础题22.甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是和，每次投篮相互独立互不影响（）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；（）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；（）甲投篮5次，投中次数为，求2的概率和随机变量的数学期望【答案】（）；（）分布列见解析，；（），【解析】【分析】（）先求出甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的概率进行计算即可；（）随机变量X的可能取值为，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个的取值，求得相应的概率，得出分布列，进而求出数学期望；（）随机变量，根据二项分布的性质求概率和数
18、学期望即可【详解】（）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则，所以（）随机变量的可能取值为，则， ，所以随机变量的分布列为X012P所以数学期望（）甲投篮5次，投中次数为，可得随机变量，所以，所以随机变量数学期望【点睛】本题考查独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，以及二项分布的数学期望计算，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力23.已知函数f（x）x3ax2x+1（aR）（1）当a2时，求曲线yf（x）在点（1，f （1）处的切线方程；（2）当a0时，设g（x）f（x）+x求函数g（x）的极值；若函数g（x）在1，2上的最小值是9，求实数a的值【答案】（1）8x
19、y40；（2）极大值是1，极小值为，3【解析】【分析】（1）求出导数，再求出，然后代入直线的点斜式，求出切线方程；（2）求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确定极值情况；因为函数连续，所以只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值.【详解】解：（1）当a2时，f（x）x3+3x2x+1，3x2+6x1，k8，f（1）4，故切线方程为y48（x1），即：8xy40（2）g（x）f（x）+xx3，a0，令g（x）3x2+3ax3x（x+a）0得x10，x2ax1随着x的变化，g（x）和g（x）的变化如下：x（，0）0（0，a）a（a，+）g（x）+00+g（x）极大值极小值
20、所以g（x）的极大值是g（0）1；极小值为g（a）g（x）3x2+3ax3x（x+a），（1）当1a0时，g（x）0，g（x）在1，2内递增，g（x）ming（1）（舍去）（2）当2a1时，则x，g（x），g（x）关系如下：x（1，a）a（a，2）g（x）0g（x）极小值g（x）ming（a）（舍）（3）当a2时，g（x）在1，2内单调递减，g（x）ming（2）6a+99，a3综上可知，a3【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数研究单调性、极值、最值是最常见的考查模式同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力24.已知函数h（x）x2ex，f（x）h（x）aex（aR）（）求函数h（x）单调
21、区间；（）若x1，x2（1，2），且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立，求a的取值范围；（）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）4e2【答案】（）增区间是（，2），（0，+）；减区间是（2，0）（）（3，8）（）见解析【解析】【分析】（）求得函数的导数，根据函数f（x）导数的符号，然后确定原函数的单调性；（）要满足题意，只需函数在（1，2）内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在（1，2）内存在变号根即可；（）先求出f（x）的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论【详解】（）h（x）x2ex，h（x）ex（x2+2x），当
22、x（，2）（0，+）时，h（x）0，h（x）的增区间是（，2），（0，+）；当x（2，0）时，h（x）0，所以h（x）的减区间是（2，0）（）依题意，函数f（x）ex（x2a）在（1，2）上不是单调函数，因为f（x）是连续函数，所以f（x）在（1，2）上需有极值，由于f（x）ex（x2+2xa），即x2+2xa0在（1，2）内有变号根，令u（x）x2+2xa，显然该函数在（1，2）上递增，故需，即，解得3a8，所以a的范围是（3，8）（）由h（x）x2ex，f（x）h（x）aex，则f（x）x2exaex，可得f（x）ex（x2+2xa），设方程ex（x2+2xa）0的两个不等实根是x1，x2，则首先满足4+4a0，解得a1，又由x2+2xa0，解得，此时x1+x22，x1x2a随着x变化，f（x），f（x）的变化如下：x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）递增极大值递减极小值递增所以x1是函数f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值，又因为，所以所以【点睛】本题考查导数的综合运用，即利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式问题，同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，属于难题