1、第十二节 导数的综合应用最新考纲展示 1会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2.会利用导数解决某些实际问题一、函数的最值与导数1函数yf(x)在a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(x0)2函数yf(x)在a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(x0)不超过不小于二、生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值2求函数在某个闭区间a，b上的最值，只需求出函数在
2、区间a，b内的极值及在区间端点处的函数值，大的是最大值，小的是最小值1函数f(x)x44x3在区间2,3上的最小值为()A72 B27C2D0解析：f(x)4x340 x1，当x1时f(x)0，x1时f(x)0；x6，2 时，y0，故函数 yx2cos x 在0，6 上单调递增，在6，2 上单调递减，所以当 x6时，函数取得最大值，为6 3.答案：6 3解析：由yx239x400，得x1或x40，由于0 x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值答案：403电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y13x3392 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_函数的最值
3、与导数(师生共研)例 1(2014 年高考江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2)x，其中a0 得 x0，25 或 x(2，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)(2)f(x)10 xa2xa2 x，a0，由 f(x)0 得 x a10或 xa2.当 x0，a10 时，f(x)单调递增；当 x a10，a2 时，f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)单调递增易知 f(x)(2xa)2 x 0，且 fa2 0.当a21，即2a0 时，f(x)在1,4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意当 1a24，即8a4，即 a0时，02a
4、，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间是(，0)和(2a，)，减区间是(0,2a)当a0时，2a0，Mf(2)812ab，mf(2a)8a312a3bb4a3.Mm(812ab)(b4a3)4a312a8.设 g(a)4a312a8，g (a)12a2 12 12(a 1)(a 1)0a12，34.g(a)在12，34 内是减函数故 g(a)maxg12 21252，g(a)ming34 1433431116，1116Mm52.例2 某开发商用9 000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米已知该写字楼第一层的
5、建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数yf(x)的表达式；(总开发费用总建筑费用购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？生活中的优化问题(师生共研)解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4 00020008 000 000(元)800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多1002 000200 000(元)20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为yf(x)800
6、 x209 00010 x2790 x9 000(xN*)(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)fx2 000 x10 000510 x2790 x9 000 x50 x900 x 79g(x)501900 x2，由 g(x)0 及 xN*得，x30.易知当 x30 时，g(x)取得最小值该写字楼建为 30 层时，每平方米平均开发费用最低规律方法(1)解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解方法，而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值
7、点(2)利用导数解决优化问题的步骤：审题，设未知数结合题意列出函数关系式确定函数的定义域在定义域内求极值、最值下结论2(2014 年泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元(6x11)，年销售为 u 万件，若已知5858 u 与x2142 成正比，且售价为 10 元时，年销量为 28 万件(1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解析：(1)设5858 ukx2142，售价为 10 元时，年销量为 28 万件，5858 28k102142，解得 k2.u2x21425858 2x221x18.y(2x221x18)(x
8、6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y 0 时，f(x)，f(x)随着 x 的变化如下表：函数f(x)的单调递增区间是(3a，a)，函数f(x)的单调递减区间是(，3a)，(a，)当a1 时，f(x)x1x230，所以 f(x)在3，)上的最小值为 f(3)16，最大值为 f(1)12.所以对任意 x1，x23，)，f(x1)f(x2)f(1)f(3)23.所以对任意 x1，x23，)，使 f(x1)f(x2)m 恒成立的实数 m 的最小值为23.规律方法 利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数
9、的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口3(2013年高考新课标全国卷)设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解析：(1)由已知得 f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而 f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故 b2，d2，a4，dc4.从而 a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2
10、ex(x1)设函数 F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得 F(0)0，即 k1.令 F(x)0 得 x1ln k，x22.若 1ke2，则2x10，从而当 x(2，x1)时，F(x)0，即F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增，故 F(x)在2，)上的最小值为 F(x1)而F(x1)2x12x214x12x1(x12)0.故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立若 ke2，则 F(x)2e2(x2)(exe2)从而当 x2 时，F(x)0，即 F(x)在(2，)上单调递增而 F(2)0，故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立若 ke2，则 F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当 x2 时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k 的取值范围是1，e2.