1、第十一节 导数在函数研究中的应用最新考纲展示 1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)一、利用导数研究函数的单调性1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若，则f(x)在这个区间上是增加的(2)若，则f(x)在这个区间上是减少的(3)若，则f(x)在这个区间内是常数2利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求(2)在定义域内解不等式.(3)根据结果确定f(x)的单调区间f(x)0f(x)
2、0或f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f(x)0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数2若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立3使f(x)0的离散的点不影响函数的单调性4f(x0)0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点；又如f(x)|x|，x0是它的极小值点，但f(0)不存在1
3、函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，)D(0，)解析：函数 y12x2ln x 的定义域为(0，)，yx1xx1x1x，令 y0，可得 0 x1.答案：B 2函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()解析：据函数的图象易知，x0，当x0时，恒有f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增，当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)当 a12时，0，f(x)12x12xx12 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当12a0，
4、设 x1，x2(x10，所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当12a0(或f(x)0时为增函数；f(x)0，故 f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当 a0，x0 时，f(x)3ax26x30，故当 a0 时，f(x)在区间(1,2)是增函数当 a0 时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当 f(1)0 且 f(2)0，解得54a0.综上，a 的取值范围是54，0(0，)
5、考情分析 利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常与函数、不等式、最值等知识综合以解答题的形式出现，考查根据函数在某区间上单调递增(减)或存在单调区间或为单调函数求参数的取值范围等问题已知函数的单调性求参数的取值范围(高频研析)角度一 已知函数在某区间上的单调递增(减)，求参数的取值范围1若 f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1 D(，1)解析：f(x)x bx20 在(1，)上恒成立，即 bx(x2)在(1，)上恒成立又 x(x2)(x1)211，b1，故选 C.答案：C 角度二
6、 已知函数 f(x)存在单调递增(减)区间，求参数的取值范围2设函数 f(x)13x3a2x2bxc，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1.(1)求 b，c 的值；(2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围解析：(1)f(x)x2axb，由题意得f01，f 00，即c1，b0.(2)由(1)，得 f(x)x2axx(xa)(a0)，当 x(，0)时，f(x)0；当 x(0，a)时，f(x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间是(，0，a，)，单调递减区间为0，a(3)g
7、(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax20 成立当 x(2，1)时，a0，得 xln 2；令 f(x)0，则 0 xln 2.f(x)在(，0，ln 2，)上单调递增，在(0，ln 2)上单调递减(2)f(x)ex21exa，令 ext，由于 x1,1，t1e，e.令 h(t)t21t t1e，e，h(t)121t2t222t2，当 t1e，2 时，h(t)0，函数 h(t)为单调增函数故 h(t)在1e，e 上的极小值点为 t 2.又 h(e)e21eh1e 12ee，2h(t)e 12e.函数 f(x)在1,1上为单调函数，若函数在1,1上单调递增，则at
8、21t对 t1e，e 恒成立，所以 a 2；若函数 f(x)在1,1上单调递减，则 at21t对 t1e，e 恒成立，所以 ae 12e，综上可得 a2或 ae 12e.规律方法 已知函数单调性，求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解利用导数研究函数的极值(师生
9、共研)例 2(2014 年高考重庆卷)已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间和极值解析(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2，令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数由
10、此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln 5.规律方法 求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值2已知函数 f(x)exx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设 g(x)xf(x)ax1，若 g(x)在(0，)上存在极值点，求实数a 的取值范围解析：(1)f(x)exx，x(，0)(0，)，f(x)exx1x2.当 f(x)0 时，x1.f(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下表：故f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，0)和(0,1)(2)g(x)exax1，x(0，)，g(x)exa，当a1时，g(x)exa0，即g(x)在(0，)上递增，此时g(x)在(0，)上无极值点 当a1时，令g(x)exa0，得xln a；令g(x)exa0，得x(ln a，)；令g(x)exa1.