1、第一章77.2 A级基础巩固一、选择题1圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是(A)AB2C4D6解析V圆锥1222棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(B)A186B62C24D18解析V棱台3(24)623. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(C)A8 cm3B12 cm3C cm3D cm3解析由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，体积V23222(cm3)，故选C4正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为(C)A3B C1D解析本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题由条件知
2、底面B1DC1的面积为侧面面积的一半，即为，而高为底面等边三角形的高，为，VAB1DC115一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(B)A4，8B4，C4(1)，D8,8解析由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h，侧面积S424，体积V2226(2017浙江理，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)A1B3C1D3解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组
3、合体，该几何体的体积V12331故选A二、填空题7将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_解析如图所示，则母线PA2，设圆锥底面半径为r，则有2r22，则r1，则圆锥的高h，所以圆锥的体积是128(2019江苏卷，9)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_10_解析设长方体中BCa，CDb，CC1c，则abc120，VEBCDabcabc10三、解答题9如图所示，圆锥的轴截面为等腰RtSAB，Q为底面圆周上一点(1)若QB的中点为C，OHSC，求证：OH平面SBQ；(2)如果AOQ60，QB2，求此圆锥的体积解析(1)证
4、明：连接OC，SQSB，OQOB，QCCB，QBSC，QBOC，QB平面SOCOH平面SOC，QBOH又OHSC，OH平面SQB(2)解：连接AQ，Q为底面圆周上一点，AB为直径，AQQB在RtAQB中，QBA30，QB2，AB4SAB是等腰直角三角形，SOAB2V圆锥OA2SO10如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别是棱AA1和CC1中点，求四棱锥A1EBFD1的体积解析EBBFFD1D1Ea，且EBFD1，ED1BF，四边形EBFD1为菱形又EFBEFD1，且三棱锥A1EFB和A1EFD1等高，VA1EFBVA1EFD1，VA1EBFD12VA1EFB2VF
5、EA1B而SEA1Ba，F到面EA1B的距离为a，VFEA1Ba，VA1EBFD1B级素养提升一、选择题1九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(B)A14斛B22斛 C36斛D66斛解析设圆锥底面半径为r，则2r8，解得r，所以米堆的体积为()25，故堆放的米约为1.6222(斛)，故选B2(2017全国卷文，6)
6、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A90B63 C42D36解析方法1：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663故选B方法2：(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B二、填空题3下图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着
7、一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降_0.6_cm解析因为圆锥形铅锤的体积为()22060(cm3)，设水面下降的高度为xcm，则这部分水的体积为(202)2x100x(cm3)所以有60100x，解此方程得x0.64某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_80_cm2，体积是_40_cm3解析由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S44242422480(cm2)，体积为V44222240(cm3)三、解答题5如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，
8、过顶点B、D、A1截下一个三棱锥(1)求此三棱锥的体积；(2)以BDA1为底面时，求此三棱锥的高解析(1)若三棱锥以ABD为底面，则AA1就是高，所以Va2aa3(2)若以BDA1为底面，设高为h，则VSBDA1h(a)2ha2h，又由(1)有Va3，所以a2ha3，解得ha6(2019全国卷文，17)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解析(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1
9、，所以BE平面EB1C1(2)解：由(1)知BEB190由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318C级能力拔高如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解析(1)由已知得AMAD2取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM