1、天津市和平区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：（每小题3分，共30分）1.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项【答案】A【解析】试题分析：设这个数列有n项，则，因此即，则，故；考点：1等差数列的性质，2等差数列的前n项和公式；2.已知等比数列中，1，2，则等于( ).A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】C【解析】试题分析：，可见，依旧成等比数列，所以，解得.考点：等比数列的性质3.已知数列满足，若数列是等比数列，则k值等于（ ）A. 1B. 1
2、C. 2D. 2【答案】D【解析】【分析】将所给数列递推式变形，由数列an1是等比数列求得k的值【详解】解：由an+1kan1，得由于数列an1是等比数列，得k2，故选：D【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题4.已知数列满足，其前n项和，则下列说法正确的个数是（ ）数列是等差数列；.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由a11，an+1|1an|+2an+1，可得a2，a3，a4，运用等差数列的定义即可判断，等比数列的通项公式即可判断，由当n2时，anSnSn1，即可判断【详解】解：数列an满足a11，an+1|1an|+2an+1，可得a2
3、|1a1|+2a1+122+11，a3|1a2|+2a2+10+2+13，a4|1a3|+2a3+12+6+19，则a4a36，a3a22，即有a4a3a3a2，则数列an不是等差数列，故不正确；an3n2，不满足a11，故不正确；若Sn满足n1时，a1S11，但n2时，a2S2S1（1）1，当n2时，anSnSn13n2，n2，nN*代入an+1|1an|+2an+1，左边3n1，右边3n21+23n2+13n1，则an+1|1an|+2an+1恒成立故正确故选：B【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题5.已知，则（ ）A.
4、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指对函数的图象与性质即可比较大小.【详解】,故选：C【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题6.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据不等式的性质分别进行判断即可【详解】对于A，当时，显然不成立；对于B，不成立；对于C，根据糖水浓度，易知：成立；对于D，当为奇数时，显然，不成立，故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键7.若，则的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】利用均值不等式即
5、可得到结果详解】解：02x3，32x0，x0，（32x）x（32x）2x，当且仅当32x2x，即x时取等号，的最大值为故选：D【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题8.已知，且，则的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】根据x0，y0，且x+y5，可得（x+y）25（x+y）+40，然后解关于x+y的不等式，可得x+y范围，从而得到x+y的最大值【详解】x0，y0，且x+y5，（x+y5（x+y）25（x+y）+40，1x+y4，当且仅当xy2时，x+y取得最大值为4故选：B【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，给
6、x+y5两边同乘（x+y）是解题的关键，考查了转化思想，属基础题9.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对n分奇偶，讨论恒成立即可【详解】，故当n为奇数，-a2+,又2+单调递减，故2+，故- a2，解a当n偶数，又2-单调递增，故2-，故，综上a故选：D【点睛】本题考查数列综合，考查数列单调性，分类讨论思想，准确计算关键，是中档题10.已知函数，若存在实数t，使得任给，不等式恒成立，则m的最大值为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由当x1，m时，f（x+t）x恒成立，即g（x）f（x
7、+t）x0恒成立，则需满足g（1）0且g（m）0，解出t的范围，讨论m的取值即可得到m的最大值【详解】解：设g（x）f（x+t）x（x+t）2xx2+（t1）xt2，由题意f（x+t）x对任意的x1，m（m1）恒成立，即g（1）0且g（m）0由g（1）0，即（1+t）210，得t3，1，由g（m）0，即（m+t）2m0，得m2+（2t4）m+t20，则当t1时，得到m22m+10，解得m1；当t3时，得到m210m+90，解得1m9综上所述m的取值范围为1，9m的最大值为9故选：D【点睛】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力
8、，是中档题二、填空题：（每小题4分，共24分）11.已知等差数列中，则_.【答案】99【解析】【分析】利用等差中项的性质可得，a15、a25、a35成等差数列，从而可求得a35的值【详解】解：等差数列an中，a15、a25、a35成等差数列，2a25a15+a35，又a1533，a2566，26633+a35，解得：a3599，故答案为：99【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练应用等差中项的性质是解决问题的关键，属于中档题12.已知等比数列的公比为2，则_.【答案】44【解析】【分析】根据利用等比数列通项公式及（a1+a4+a7+a97）q2（a2+a5+a6+a98）qa3+a6+a9+a9
9、9求得答案【详解】解：因为an是公比为2的等比数列，设a3+a6+a9+a99x，则 a1+a4+a7+a97，a2+a5+a6+a98S9977（a1+a4+a7+a97）+（a2+a5+a6+a98）+（a3+a6+a9+a99）x，a3+a6+a9+a9944，故答案为：44【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和，解题的关键是发现a1+a4+a7+a97、a2+a5+a6+a98和a3+a6+a9+a99的联系，属于基础题13.已知数列满足，且，若，则正整数k=_.【答案】23【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果【详解】解：数列an满足
10、a115，且3an+13an2，整理得（常数），所以数列an是以a115为首项，为公差的等差数列则，由于akak+10，则0，解得，所以正整数k23故答案为：23【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14.若，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】通过a的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可【详解】原不等式可化为（xa）（x）0的解集，又，a即不等式的解集为：故答案为：【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力15.若1a3，4b2，那么a|b|取值范围
11、是_【答案】(3,3)【解析】【分析】先算出|b|的范围，再算出a+（|b|）的范围【详解】由4b20|b|4，4|b|0，又1a33a|b|3所求范围为（3，3）.故答案为（3，3）.【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点16.已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取直范围是_.【答案】【解析】【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论【详解】解：x0，y0，不等式等价为a恒成立，设m，则m0，平方得m2（）2111+12，当且仅当xy时取等号，m22，则0m要使a恒成立，则a，故答案为：，+）【点睛】本题主要考查不等
12、式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键综合性较强三、解答题：（共4题，46分）17.已知函数，（1）解关于a的不等式；（2）若不等式的解集为，求实数a，b的值；（3）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取直范围。【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）由得：，解一元二次不等式即可；（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值（3）对，恒成立等价于，转求最值即可【详解】（1）由得：.解集为（2）由即，可知1与3是方程两实根故或（3）对，恒成立等价于即，满足设，当且仅当即时“=”成立故，或【点睛】本题考查了一元二
13、次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题18.已知数列满足：，（1）设,求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）由条件可得，即有bn+1bn，由累加法，结合等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（2）由（1）可知，设数列的前n项和Tn，运用错位相减法，结合等差数列、等比数列的求和公式，以及分组求和，计算可得所求和【详解】（1）由可得，累加法可得：，化简并代入b11得：；（2）由（1）可知，设数列的前n项和Tn，则 可得Tn12，则Tn4，前n项和Snn（n+1）4【点睛】本题考查数
14、列的通项公式的求法，考查数列恒等式和等比数列的求和公式的运用，考查错位相减法求和，以及分组求和，化简整理的运算能力，属于中档题19.已知等差数列的公差，首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）比较与的大小.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知列式求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求解；（2）利用裂项相消法求数列的前n项和Pn；（3）由，设f（n），分析可得当n3时，f（n+1）f（n）f（n）单调递增，由f（n）f（3），Pn，得f（n）Pn；再验证n1与n2时成立，可得Pn与的大小【详解】解：（1）由题意，即，解得d2an2n1；（
15、2）（3）由，设f（n），则f（n+1）f（n）当n3时，f（n+1）f（n），f（n）单调递增，f（n）f（3），Pn，则f（n）Pn；当n1时，f（1）2；当n2时，f（2）1综上，Pn【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题20.已知函数（为常数），方程有两个实根3和4，（1）求的解析式；（2）设，解关于x的不等式；（3）已知函数是偶函数，且在上单调递增，若不等式在任意上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）答案不唯一，见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据题意，方程f（x）x+120即（1a）x2+（
16、12ab）x+12b0的两根为3和4，由根与系数的关系分析可得有，解可得a、b的值，即可得到答案；（2）根据题意，原不等式变形可得f（x），分情况讨论k的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案；（3）根据题意，由函数奇偶性与单调性的性质可得g（mx+1）g（x2）|mx+1|x2|，x，1；进而变形可得对于任给x，1上恒成立，据此分析可得答案【详解】（1）由即 ，即（1a）x2+（12ab）x+12b0两根为3和4，即. 故（2）由即1当时，解集2当时，解集3当时，解集（3）由于g（x）为偶函数且在（0，+）上递增， g（mx+1）g（x2）|mx+1|x2|，x，1；则有，变形可得，即有，对于任给x，1上恒成立，对于y，有y|x10，则有m0，对于y，有y|x12，则有m2，故2m0，即m的取值范围为2，0【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，考查转化思想与计算能力，属于综合题
