1、新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、单选题（每题5分，满分60分）1已知全集，集合，集合，则（ ）ABCD2（ ）ABCD3已知向量，若，则实数（ ）A2或B2C0D4平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（ ）A只有唯一值B有两个不同值C有三个不同值D无穷多个值5实数满足不等式组，则的取值范围是（ ）ABCD6小雨利用几何画板探究函数图象，在他输入一组的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）ABCD7若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD8将函数
2、的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）A的最小正周期为B图象的一条对称轴方程为C的单调递增区间为D的单调递减区间为9九章算术中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（ ）ABCD10已知数列的首项为，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）A1 a 3BCD11. 已知为等腰三角形，顶角A为，腰长为2，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 12已知，则、的大小关系为（ ）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分）13. 已知函数，若在区间
3、上任意取一个数t，则在上为单调函数的概率为_14已知函数（），若的图像在上与x轴恰有两个交点，则的取值范围是_.15. 已知a，b为正实数，且a + b + ab = 3,则2a + b的最小值为_.16设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是_.三、解答题（第17题满分10分，第1822题每题满分12分，共计70分）17已知是等差数列，是等比数列，且，成等比数列，（1）求的通项公式和的前项和及的最小值；（2）求和：18在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,若b=3,c=4,C=2B,
4、且.(1)求cos B及a的值；(2)求的值.19如图，在三棱柱中，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点1证明：平面；2求直线和平面所成的角的正弦值20为开学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号数学乐园，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比例如：阅读跳转率f（20）5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文
5、章的所有读者的5%现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示用频率来估计概率（1）随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；（2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；（3）请依据图中的数据，比较篇目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议21已知点在圆：上运动，点（1）若点是线段的中点，求点的轨迹的方程；（2）过原点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，是否
6、为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由22 对于函数，若存在定义域中的实数a，b满足且，则称函数为“M类”函数试判断，是否是“M类”函数，并说明理由；试判断，是否是“M类”函数，并说明理由；若函数，为“M类”函数，求n的最小值新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷（B卷）参考答案112. A D D C D B C D B C B A10【详解】当时，因此有，得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，因为数列单调递增，所以有，即，解得：， 故选：C12A 【详解】，因为，所以，所以，即，由，因为，则，所以，即，所以， 所以. 故选：A.13 1
7、4 15 16. .15. 16.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.17解：（1）设是公差为的等差数列，由，成等比数列，可得，即，解得，则，当时，取得最小值9（2）设是公比为q的等比数列，由，即，可得，由的奇数项是首项为1，公比为3的等比数列，可得18 19 解： 证明：，D是的
8、中点，面ABC，平面 建立坐标系如图，在三棱柱中，0，0，即，0，设平面的法向量为y,，即得出 得出0， ， ，所以直线和平面所成的角的正弦值为.20解：（1）阅读量大于文章总量的80%的概率为；（2）阅读量没有达到30%即为10%和20%的频率相等，因此抽取的6人各有3人，分别编号10%的编号为，20%的编号为，任取2人的基本事件为：共15个，其中均为10%的有共3个，概率为；（3）由折线图，阅读量增大时，跳转率也增大，特别是更需进行优化建议：从文中（阅读量50%）开始需优化，因为越往后跳转率越高，说明质量问题较大，需提高特别是结尾质量21解：（1）圆的圆心，半径为4，设的中点为，则，依题意
9、，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，即的轨迹的方程为；（2）因过原点且不与轴重合，则可设直线的方程为由消去并整理得，依题意知，是上述关于x的一元二次方程的两根，则，于是有，所以是定值.22. 解：是由题意可知，所以必有在二次函数的对称轴直线的两侧，故，因此，所以；不是假设为M类函数，则存在，使得，则，或者，由，当，时，有，所以，可得，不成立；当，时，有，所以，不成立，所以不为M类函数则在单调递减，在单调递增，又因为是M类函数，所以存在，且，由等式可得：，则，所以，则，所以得，从而，则有，即，所以，因此，由，则，令，当时，且，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，使得，此时，因此n的最小值为7