1、课时素养评价 二十三向量的概念(15分钟30分)1.(2020眉山高一检测)已知a为单位向量,下列说法正确的是()A.a的长度为一个单位B.a与0不平行C.a的方向为x轴正方向D.a的方向为y轴正方向【解析】选A.因为已知a为单位向量,所以a的长度为一个单位,故A正确;因为a与0平行,故B错误;由于a的方向是任意的,故C,D错误.【补偿训练】下列说法正确的是()A.有向线段与表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.对任意向量a,是一个单位向量【解析】选C.向量与方向相反,不是同一向量,A说法错误;有公共终点的向量的方向不一定相同或相反,B说法错误;当a=
2、0时,无意义,D说法错误;零向量与任何向量都是平行向量,C说法正确.2.(2020绵阳高一检测)下列命题中正确的是()A.=a=bB.abC.a=babD.单位向量都相等【解析】选C.对于选项A,模长相等的向量不一定是相等的向量,所以错误.对于B,由于向量不能比较大小,所以错误.对于选项C,由于向量相等,则可以知道它们必定共线,成立,对于D,由于单位向量方向不一定相同,所以错误.3.在四边形ABCD中,若,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.梯形C.菱形D.平行四边形或梯形【解析】选D.因为在四边形ABCD中,且与的大小未知,所以四边形ABCD是平行四边形或梯形.4.如图,四边形ABCD是
3、菱形,则在向量,和中,相等的有_对.【解析】=,=.其余不等.答案:2【补偿训练】已知在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,则|=_.【解析】易知ACBD,且ABD=30,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在RtABO中,易得|=,则|=2|=2.答案:25.如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量.(2)写出图中所示向量与向量相等的向量.(3)分别写出图中所示向量与向量,共线的向量.【解析】(1)与长度相等的向量是,.(2)与相等的向量是,.(3)与共线的向量是,;与共线的向量是,.【补偿训练】设W是由一平面内的n(n3)个向量组成
4、的集合.若aW,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模,则称a是W的极大向量.有下列命题:若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b,使得W=a,b,c中的每个元素都是极大向量;若W1=a1,a2,a3,W2=b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1W2中的每一个元素也都是极大向量.其中真命题的序号是_.【解析】若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;由题意得a,b,c围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;3个向量都是极大向量,
5、等价于3个向量之和为0,故W1=a1,a2,a3,W2=b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量时,W1W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确.答案:(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在同一平面上,把平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆【解析】选B.由于向量的起点确定,而向量平行于同一直线,所以随着向量模长的变化,向量的终点构成的是一条直线.2.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为()A.B
6、.C.1D.2【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.【补偿训练】如果在一个边长为5的正ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为_.【解析】根据题意,在正ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正ABC的高,为.答案:3.如图在等腰梯形ABCD中.与是共线向量.=.以上结论中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.因为与的方向不相同,也不相反,所以与不共线,即不正确;由可知不正确;因为两个向量不能比较大小,所以不正确.【误区警示】本
7、题易错之处在于的判断,忽视向量是不能够进行大小比较的.4.(多选题)下列说法不正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小【解析】选ABC.向量之间不能比较大小,但向量的模可以比较大小,向量的大小与方向无关.故只有选项D说法正确.【补偿训练】(多选题)如图,在菱形ABCD中,DAB=120,则以下说法正确的是()A.与相等的向量只有一个(不含)B.与的模相等的向量有4个(不含)C.的模为模的倍D.与不共线【解析】选AC.A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB
8、=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B错误;C项,在RtADO中,DAO=60,则DO=DA,所以BD=DA,故C项正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D项错误.【光速解题】选AC.从容易判断的选项入手,如D选项显然错误,其次A选项正确,再次B选项中的向量始点和终点互换后为不同的向量,故错误,根据多选题的特点易得AC正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若向量a与任意向量b都平行,则a=_;若|a|=1,则向量a是_.【解析】由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.答案:0单位向量【补偿训练】给出
9、下列四个条件:a=b;|a|=|b|;a与b方向相反;|a|=0或|b|=0.其中能使ab成立的条件是_(填序号).【解析】若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以ab;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有ab;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有ab;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则ab.答案:6.(2020福州高一检测)有下列说法:若ab,则a一定不与b共线;若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;在ABCD中,一定有=;共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是_.【解析】,两个向量不相等,可能是
10、长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故不正确;,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故不正确;,在平行四边形ABCD中,|=|,与平行且方向相同,所以=,故正确;,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故不正确.答案:三、解答题7.(10分)设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.【证明】如图所示,连接AC.在ABC中,由三角形中位线定理知,EF=AC,EFAC,同理HG=AC,HGAC.所以|=|且和同向,所以=.【补偿训练】如图是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.【解析】如图,马在B处只有3步可走,马在C处有8步可走,人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.