1、第六节 简单的三角恒等变换最新考纲展示 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)一、半角公式1用 cos 表示 sin2 2，cos2 2，tan2 2sin22_；cos2 2_；tan2 2_.1cos 21cos 21cos 22用 cos 表示 sin 2，cos 2，tan 2sin 2_；cos 2_；tan 2_.3用 sin，cos 表示 tan 2tan 2sin 1cos 1cos sin.1cos 2 1cos 2 1cos 1cos 二、辅助角公式asin
2、bcos _.a2b2sin()其中tan ba1用 tan 表示 sin 2 与 cos 2：sin 22sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan tan21；cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan2.2三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等3
3、应用二倍角公式的变形求值的注意问题：(1)已知 sin，cos 的值求 tan2时，应优先采用 tan2sin 1cos 或 tan21cos sin，这样可以避免由“tan2 1cos 1cos”带来增解(2)应用“sin2 1cos 2”或“cos21cos 2”求值时，可由2所在象限确定该三角函数值的符号4辅助角公式的特殊情况：(1)sin cos 2sin4.(2)sin 3cos 2sin3.(3)cos 3sin 2sin6.5辅助角公式的作用：(1)利用该公式可将形如 yasin xbcos x 的函数转化为形如 yAsin(x)的函数，进而研究函数的性质(2)若函数 yasin
4、 xbcos x 的定义域为 R，则值域为 a2b2，a2b21已知 cos 15，52 3，那么 sin2()A.105B 105C.155D 155解析：52 3，54 232.sin21cos 21152 155.答案：D 2化简 2cos 2sin21的结果是()Acos 1 Bcos 1C.3cos 1 D 3cos 1解析：2cos 2sin21 3cos21 3cos 1.答案：C 3(2013 年高考浙江卷)函数 f(x)sin xcos x 32 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是()A，1 B，2C2，1 D2，2解析：f(x)12sin 2x 32 cos 2xsin
5、2x3，所以最小正周期为 T22，振幅 A1.答案：A 4若 cos 45，是第三象限角，则 sin4()A7 210B.7 210C 210D.210解析：由题意知 sin 35，sin4 sin cos4cos sin435 22 45 22 7 210.答案：A 三角函数式的化简(师生共研)例 1 化简：sin2sin2cos2cos212cos 2cos 2.解析 解法一(复角单角，从“角”入手)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2
6、cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21211212.解法二(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)12cos 2cos 2cos2sin2cos 212cos 2cos 2cos2cos 2sin212cos 21cos 22cos 2sin21212sin21cos 2212cos 212.解法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2 cos 214(1cos 2cos 2cos 2cos 2)1
7、4(1cos 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 212.解法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos)22sin sin cos cos 12cos 2cos 2cos2()12sin 2sin 212cos 2cos 2cos2()12cos(22)cos2()122cos2()112.规律方法 三角函数化简一般先看角的变换，再看三角函数名的变换，然后是幂及解析式结构的变换，并要注意它们的综合应用1化简：1tan 2tan 2 1tan tan 2.解析：原式cos 2sin 2sin 2cos 21sin cos sin 2c
8、os 2cos sin 2cos 21sin cos sin 2cos 22cos sin 2cos sin sin cos sin 2cos 22cos sin 2sin 2cos 22cos sin 4sin22sin 2cos 4sin22sin 212sin22 4sin22sin 2sin.例 2(2015 年枣庄模拟)已知函数 f(x)3sin xcos xcos2xa.(1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若 f(x)在区间6，3 上的最大值与最小值的和为32，求 a 的值解析(1)因为 f(x)32 sin 2x1cos 2x2asin2x6 a12，所以 T.由
9、22k2x632 2k，kZ，得6kx23 k，kZ，故函数 f(x)的单调递减区间是6k，23 k(kZ)(2)因为6x3，所以62x656，12sin 2x6 1.因为函数 f(x)在6，3 上的最大值与最小值的和为1a12 12a12 32，所以 a0.规律方法(1)利用 asin xbcos x a2b2sin(x)把形如 yasin xbcos xk 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等(2)化 asin xbcos x a2b2sin(x)时 的求法：tan ba；所在象限由(a，b)点确定2(1)(2013 年高考江西卷)函数
10、ysin 2x2 3sin2x 的最小正周期T 为_(2)(2013 年高考全国新课标卷)设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值则 cos _.解析：(1)ysin 2x2 3sin2xsin 2x 3cos 2x 32sin(2x3)3，所以该函数的最小正周期 T22.(2)f(x)sin x2cos x 555 sin x2 55 cos x 5 sin(x)，其中 sin 2 55，cos 55，当 x2k2(kZ)时函数 f(x)取到最大值，即 2k2 时函数 f(x)取到最大值，所以 cos sin 2 55.答案：(1)(2)2 55三角恒等变换的综合应用(
11、师生共研)例 3(2015 年大连模拟)已知函数 f(x)3sin2x6 2sin2x 12(xR)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求使函数 f(x)取得最大值时 x 的集合解析(1)因为 f(x)3sin2x6 1cos 2x 12 232 sin2x6 12cos2x6 12sin2x6 6 12sin2x3 1，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)当 f(x)取得最大值时，sin2x3 1，此时 2x32k2(kZ)，即 xk512(kZ)，所以所求 x 的集合为xxk512，kZ.规律方法(1)三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等
12、，其中切化弦也是同化思想的体现(2)降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式3设 f(x)6cos2x 3sin 2x.(1)求 f(x)的最小正周期、最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合；(2)若锐角 满足 f()32 3，求 tan45 的值解析：(1)f(x)61cos 2x2 3sin 2x3cos 2x 3sin 2x32 332 cos 2x12sin 2x 32 3cos2x6 3.函数 f(x)的最小正周期 T22.函数 f(x)的最大值为 2 33，此时 2x62k，xk 12，kZ，即 x 的集合为xxk 12，kZ.(2)由 f()32 3得 2 3cos26 332 3，故 cos26 1，又由 02得62676，故 26，解得 512.从而 tan45 tan 3 3.