1、内蒙古赤峰二中2021届高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先分别解出集合与集合，然后解出及.详解】集合或，集合或，则，或故选：A.【点睛】本题考查交集、补集的概念及运算，较简单.2. 已知复数，其中为虚数单位，则等于（ ）A. B. 2C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算化简，求出，由模长公式得出答案.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模，属于基础题.3. Logistic模型是常用数学模型之一，可应
2、用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）(参考数据：)A. 60B. 62C. 66D. 63【答案】D【解析】【分析】根据可解得的值，即可得答案；【详解】，所以，所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，考查阅读理解能力.4. 阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1；第二圈，n=13,n=27,否k=2；第三圈，n=27,n=55,否k=3；
3、第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B考点：本题主要考查程序框图点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果5. 若，则a，b，c的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可【详解】解：， ，故选B【点睛】本题主要考查数的大小比较，一般来讲要转化为函数问题，利用函数的图象分布和单调性比较，有时也用到0，1作为比较的桥梁6. 如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
4、解析】【分析】设小圆的半径为，根据图形可得，大圆的半径为，分别求得大圆和七个小圆的面积的和，利用面积比的几何概型，即可求解【详解】由题意，设小圆的半径为，根据图形可得，大圆的半径为，则大圆的面积为，其内部七个小圆的面积和为，由面积比的几何概型可得概率为，故选A【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力7. 函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，排除选项；利用排除选项，从而可得结果.【详解】 ，排除
5、选项；，排除选项，故选A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由题目条件得，而.故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结
6、构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.9. 函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值【详解】对于函数且，令，求得，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，则，故选C【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题10. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点
7、作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，则，进而得最值.【详解】由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为设，则所以当时，切线长取得最小值，此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D【点睛】圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值11. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象.若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
8、】用辅助角公式，将化为正弦型三角函数，利用图像变换关系求出，再结合函数图像和性质，即可求解.【详解】，所以，故的周期为，且.因为，所以，或，所以，所以.故选:A.【点睛】本题考查函数恒等变换以及图像变换求函数式，考查三角函数的图像及性质，属于中档题.12. 定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，先得到是周期为的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出在区间上是增函数；根据三角形是锐角三角，得到，得出，从而可得出结果.【详解】因为偶函数满足，所以函数是周期为的函数，又在区间上减函数，所以
9、在区间上是减函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是增函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以，即，因此，即，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于中档题.二填空题13. 已知向量，且与垂直，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值【详解】；故答案为【点睛】本题考查向量垂直充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题14. 已知，则等于_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式可求得，由二倍角公式可求得结果.【详解】，.故答案为：.15. (2017天津卷改编)已知双曲线 (a0，b0)的左焦点
10、为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为_.【答案】【解析】【详解】设点，因为该双曲线的离心率为，所以，又经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，所以，联立，解得又，即，联立，解得，故双曲线的方程为点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值16. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为_【答案】e【解析】【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出
11、函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围【详解】解：设公切线与f（x）x2+1的图象切于点（，），与曲线C：g（x）切于点（，），2，化简可得，2，2，a，设h（x）（x0），则h（x），h（x）在（0，）上递增，在（，+）上递减，h（x）maxh（），实数a的的最大值为e，故答案为e【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题三解答题17. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC2acosA（1）求A；（2）若a2，且ABC的面积为，求ABC的周长【答案】（1）；（2）6.【解析】
12、【详解】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.试题解析：（1），.，.，.（2）的面积为，.由，及，得，.又，.故其周长为.18. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（1）证明：；（2）若，求C到平面的距离【答案】(1)见解析(2) 【解析】【详解】试题分析：（1）证线线垂直，可证线面垂直，证平面，可得到线线垂直；（2）由等体积的方法得到三棱锥的体积，进而求得点面距离解析：（1）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又
13、平面，所以（2）由条件可得所以的面积为 设C到平面的距离为,则三棱锥的体积 所以,从而即C到平面的距离为19. 随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：日期2日7日15日22日30日温度101113128产卵数/个2325302616（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，求事件“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2
14、组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；（）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）（2）（），（）可靠，见解析【解析】【分析】（1）根据题意写出所有的基本事件，即可求解：“不小于25”的概率；（2）（）由题意求出，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（）分别将的值代入，检验数据的误差均是否
15、不超过2颗，即可判断【详解】（1）解：依题意得，、的所有情况有：、共有10个；设“、均不小于25”为事件，则事件包含的基本事件有、，所以，故事件的概率为；（2）解：（）由数据得，.所以关于的线性回归方程为.（）由（）知，关于的线性回归方程为.当时，.当时，.所以，所得到的线性回归方程是可靠的.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题20. 已知椭圆的左右两个焦点分别为，以坐标原点为圆心，过，的圆的内接正三角形的面积为，以为焦点的抛物线的准线与椭圆C的一个公共点为P，且.（1）求椭圆C和抛物线M的方程；（2）过作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C于A，B两点，另一条交抛物线M于G
16、，H两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角形的面积求解出的值，从而抛物线方程可求，再求解出的长度，并根据椭圆的定义求解出的值，从而椭圆的方程可求；（2）分直线的斜率和讨论：当时直接计算；当时分别联立直线与椭圆、抛物线，利用弦长公式表示出，根据求解出四边形面积的最小值.【详解】（1）圆半径为，故内接正三角形的面积为，即又，故，椭圆.（2）由已知得直线斜率存在，记为（i）当时，故.（ii）当时，设，代入，得：.此时，代入得：.综上，.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到椭圆和抛物线的方程求解、直线与圆锥曲线交点围成面积的最值，对学生的计算能力要
17、求较高，难度一般.21. 已知函数.（1）若函数的图象与x轴有交点，求实数a的取值范围；（2）若方程有两个根，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1) 函数的图象与x轴有交点，等价于有方程根，参变分离转化为图象交点问题，构造新函数判断出单调性与最值，可得实数a的取值范围；(2)将，两个方程根代入，两式相减并化简求出，利用变量集中的方法以及构造函数判断单调性和最值，证得命题成立【详解】（1）函数图像与x轴有交点，等价于有方程根，等价于在有解，即与图象有公共点；构造，则，在上单调递减，在单调递增，且，可得（2），则，等价于，即满足，两式相减得，即，可得.令，构造函数，所
18、以在上单调递增，因为，所以【点睛】本题考查导数在证明题中的应用，考查利用导数解决函数与方程问题，考查学生逻辑思维能力，属于中档题22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.()直接写出直线、曲线的直角坐标方程；()设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.【答案】()，；()【解析】【详解】试题分析：()两式相加消去参数，即得直线的普通方程，利用二倍角公式和进行求解；()设出椭圆上点的参数坐标，再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函数的性质进行求解试题解析：（）直线的直角坐标方程为，因为，所以，则，即曲线的直角坐
19、标方程为.（）曲线的直角坐标方程为，即，曲线上的点的坐标可表示为.，的最小值为，的最大值为.，即的取值范围为.考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式23. 已知函数，不等式的解集为M.（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若正数满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）由（1）可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由零点分段法可化为或或或所以集合（2）证明：由（1）可知集合M中最大元素为，其中三式相加得，所以得证.【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式、基本不等式证明不等式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.