1、内蒙古赤峰二中2021届高三数学上学期第三次月考试题 理一、单选题（每小题5分，共60分）1已知全集，集合，则为（ ）ABCD2直线与平行，则的值为（ ）A1B或0CD03已知，, 为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则44名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（ ）ABCD5设，若双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为ABCD6已知各项均为正数的数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为5，则（ ） A29 B31 C33D35717世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样
2、说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）ABCD8已知定义在上的偶函数在上单调递减，则对于实数a，b，“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件9函数（其中为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ）A B C D 10已知函数的部
3、分图像如图所示，记关于的方程在区间上所有解的和为，则（ ）ABCD11抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是( )A1BCD212已知函数的最小值分别为，则（ ）ABCD的大小关系不确定二、填空题（每小题5分，共20分）13已知复数，满足，则_14已知等差数列的前n项和满足，则_.15在中，角A的角平分线，则_.16已知、是椭圆短轴上的两个顶点，点是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点与点关于轴对称，则下列四个命题中，其中正确的是_.直线与的斜率之积为定值； ；的外接圆半径的最大值为； 直线与的交点的轨迹为双曲线.三、解答
4、题17（12分）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点 18（12分）已知数列的前n项和为Sn，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，证明：.19（12分）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功（）求至少回答对一个问题的概率（）求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列（）求这位挑战者闯关成功的概率20（12分
5、）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于 两点，又过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点（1）证明：直线的斜率之积为定值；（2）求面积的最小值21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在，且当时，证明：22（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值.23（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为m，a、b、c为正数
6、且，求证：第三次月考参考答案CBDAB BCBBB AA 13 1415 15 16.10B解：由图可知，再把点代入可得，所以，又，所以，由五点作图法原理可得，所以，故函数，当时，令，得，由图像可知方程在区间上所有的解共有2个，且这2个解的和等于，即，所以，11A设，连接，过A作准线l的垂线，垂足为Q，过B作准线l的垂线，垂足为P，由抛物线的定义得：，则.则在中，由余弦定理可得：，而，因此，即（当且仅当a=b时取等号）.12A由题意得：，易得，设，可得，可得，由与图像可知存在，使得，可得当，当，可得得最小值为，即；同理：，设，可得或者，由与得图像可知，存在，使得，可得当时，当时，当时，可得即为
7、得最小值，可得，故，13141515由题意，角的角平分线，在中，由正弦定理：，可得，则，所以，那么，则，所以在中，由正弦定理：，所以.可得16.解：设，则，因此不正确；点在圆外，所以，正确；当点在长轴的顶点上时，最小且为锐角，设的外接圆半径为，由正弦定理可得：.，的外接圆半径的最大值为，正确；直线的方程为：，直线的方程为：，两式相乘可得：，化为，由于点不与，重合，的轨迹为双曲线的一部分，不正确.故答案为：.17（1）证明：垂直于所在的平面，所在平面， 为直径， ，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面； (2)如图，过作于，连接，因为平面平面，平面平面，平面；是直线与平面所成角；在中，在中
8、，.即直线与平面所成角的正弦值为.18证明：（1）因为，所以时，即；时，作差得，化简得，即， ，故数列是首项为-6，公比为2的等比数列；（2）由（1）知，即，故.19.（）设至少回答对一个问题为事件,则.（）这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为.根据题意,.随机变量的分布列是:（）设这位挑战者闯关成功为事件,则.1920（1）证明：由题意设 的方程为 ，联立 ，得 因为 ，所以设 ，则 设直线 的斜率分别为 ，对 求导得 ，所以 ，所以，（定值）（2）解：由（1）可得直线 的方程为 直线 的方程为 联立，得点 的坐标为， 由（1）得 ，所以 .于是 ，点 到直线 的距离， 所以 ，
9、当，即时，的面积取得最小值21【详解】（1），定义域，（i）当时，在单调递增，无极值；（ii）当时，令，解得，的单调递增区间为；令，解得，的单调递减区间为此时有极小值，无极大值（2）令，则（i）时，在上单调递减，恒成立，满足题意（ii）时，令，在上单调递减，其中，且在上单调递减，根据零点存在性定理，使得，即，；，在上单调递增，又，不满足题意，舍掉；综上可得（3）不妨设，则.，令，在上单增，从而；，即；下面证明，令，则，即证明，只要证明，设，在上恒成立，在单调递减，故，即22（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为x24y2=1（）直线l的极坐标方程为cos（）.转化为直角坐标方程为：.（2）由于直线与x轴的交点坐标为（），所以直线的参数方程为（t为参数），代入x24y2=1得到：，所以：，t1t2=-1，则：8.23（1）当时，由，得，解得，此时；当时，由，得，解得，此时；当时，由，解得，综上所述，不等式的解集为；（2）由（1）可知.当时，；当时，；当时，.所以，函数的最小值为，则.由柯西不等式可得，即，即，当且仅当时，等号成立.因此，.