1、2019-2020学年天津市和平区双菱中学高二（下）4月段考数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式方程得到切线方程详解：，又，所求切线方程为，即故选C点睛：利用导数的几何意义求切线方程时要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别对于第一种说法可直接利用导数的几何意义求解，第二种说法则要转化为第一种说法求解2.函数在上的最大值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【
2、分析】求得函数的导数，得出函数的单调性，即可求解函数的最大值，得到答案【详解】由题意，函数，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，故选D【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.若函数在x2处有极大值，则常数c为（ ）A. 2B. 6C. 2或6D. -2或-6【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，则，求出c值然后再代回去检验函数的导数在处左侧为正数，右侧为负数因为满足这个条件才能说在处取得极大值【详解】函数，它的导数为，由题意知，在x2处的导数值为，c6，或c2
3、，又函数在x2处有极大值，故导数值在x2处左侧为正数，右侧为负数.当c2时，不满足导数值在x2处左侧正数，右侧为负数.当c6时，满足导数值在x2处左侧为正数，右侧为负数.故c6.故选B.【点睛】函数在处取得极值的充要条件是：1） 2)导函数在处两端异号所以此类题先求，再判断导函数在处是否异号即可4.已知，则等于( )A. -4B. -2C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】首先对f（x）求导，将1代入，求出f（1）的值，化简f（x），最后将x3代入即可【详解】因为f（x）2x+2f（1），令x1，可得f（1）2+2f（1），f（1）2，f（x）2x+2f（1）2x4，当x3，f（3）2故选
4、D【点睛】本题考查导数的运用，求出f（1）是关键，是基础题5.平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取轴上的单位向量，则轴与平面所成的角的大小，由公式可求解.【详解】解：设轴与平面所成的角的大小为，在轴上的单位向量，平面的一个法向量为，故选：B【点睛】本题考查用向量方法求线面的夹角，属于基础题.6.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，E为BB的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. -D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的
5、余弦值【详解】直三棱柱中，为的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，0，0，2，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.已知函数在处有极值10，则值为（ ）A. ，B. ，或，C. ，D. 以上都不正确【答案】A【解析】【分析】根据条件函数在处有极值10，则有且，解出的值，然后再代入检验是否满足条件，得出答案【详解】解：函数的导数为，因为函数在处有极值10，所以且即，解得或当，此时函数单调递增，所以此时函数没有极值，所以
6、不满足条件所以经检验值当，时，满足条件故选：A【点睛】本题考查函数取极值的情况，求参数的值，注意要检验，属于中档题.8.已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分离变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.【详解】因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9.已知函数，则函数的单调递减区间为_【答案】，【解析】【分析】求出函数的导函数，令可得到
7、答案.【详解】解：令，解得：或函数的单调递减区间为，故答案为：，【点睛】本题考查利用导数求函数的减区间，属于基础题.10.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_【答案】4【解析】【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，解得故答案为：4【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.11.如图是的导函数的图像，现有
8、四种说法：在上是增函数；是极小值点；在上是减函数，在上是增函数；是的极小值点；以上正确的序号为_【答案】【解析】【详解】试题分析：由的图像可知， 当时，单调递减，时，单调递增，所以是函数的极小值点，故错误，正确；从图中可以看到在有一个零点，设为，当时，单调递减，当时，单调递增，时，单调递增，所以，是函数有极大值点，故错误，错误；综上可知，正确.考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的极值与导数.12.已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意即等价于，求出，得出函数的单调区间，得出最小值，从而得出答案.【详解】解：对任意的，存在，使得，等价于，
9、令，解得，且当时，则在上单调递增，所以，又在上单调递减，所以，则，解得，故答案为【点睛】本题考查两函数构成的不等式中的任意和存在性问题求参数，属于中档题.13.正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则二面角PABC的正切值是_，点A到侧面PBC的距离是_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】作底面，交面于点，连接并延长交于点，取中点，连结，则点在上，是二面角的平面角，根据棱锥的高、结合侧棱与底面成的角，可得；求得，利用，可得点到面的距离【详解】作底面，交面于点，连接并延长并于点，取中点，连结，则点在上，是二面角的平面角，正三棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为，二面角的正切
10、值，又，设，则，由勾股定理得，解得，设点到面的距离为，解得，点到面的距离为故答案为【点睛】本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查线面角的定义、棱锥的体积公式，考查空间想象能力，是中档题求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.14.已知函数在上的最大值为3，则实数_【答案】【解析】【分析】由，分和讨论函数的单调区间，从而得出函数的最值，得
11、出答案.【详解】解：，令，当时，在上单调递增，即（舍去），当时，时，故在上单调递增，在上单调递减，即，即，令，在上单调递减，且.解得.故答案为：【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调区间得出函数的最值，求参数的范围，属于中档题.三、解答题（本题共2小题，共30分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析；（3）（1，0）【解析】分析】（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数
12、的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围【详解】（1）当时，当时，单调递减；当时，单调递增当时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为又，所以函数在区间上的最小值为，最大值为（2）由题意得，当，即时，恒成立，在上单调递减当时，恒成立，在上单调递增当时，由得，或（舍去），在上单调递减，在上单调递增综上可得，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递减（3）由（2）可得，当时，若不等式恒成立，则只需，即，整理得，解得，又，实数的取值范围为【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数
13、在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点（1）求证：面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2) ； (3)答案见解析.【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可证明平面；
14、（2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。【详解】解：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 则，设平面的法向量是，则，即令，则，于是，又平面，平面（2）设平面的法向量为则，即据此可得平面的一个法向量,设二面角的平面角大小为，易知：则，即 二面角的正弦值为（3）假设存在满足题意的点，且：，设点N的坐标为，据此可得：，由对应坐标相等可得，故，由于平面的一个法向量，由题意可得：解得：，据此可得存在满足题意的点，且的值为.【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面的法向量即可证明平面、平面与平面的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式是解题的关键，属于中档题。