1、高考总复习数学（理科）第二章 函数、导数及其应用第四节 一次函数和二次函数考 纲 要 求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了某些条件的二次函数的解析式2掌握二次函数的单调性，会求二次函数的单调区间 3会求二次函数的最值 4结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课 前 自 修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接一、一次函数及其性质课前自修函数yaxb(a0)叫做一次函数当_时，该函数在R上是增函数；当_时，该函数在R上是减函数由于一次函数是单调函数，故其
2、在闭区间上的最大值、最小值一定在端点取得若函数f(x)axb在xp，q时恒为正(负)，则在p，q处的函数值满足_若函数f(x)axb在xp，q上与x轴有交点，则在p，q处的函数值满足_基 础 回 顾 a0 a0（0（0时，值域为_；当a0 时，开 口 向 _；当 a0时，在区间_上是增函数，在区间_上是减函数；当 a0时，在 区 间 _上 是 增函 数，在区 间_上是减函数(5)当_时，该函数是偶函数；当_时，该函数是非奇非偶函数x b2a b2a，4acb24a上 下 b2a，b2a，b2a b2a，b0 b0考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修4二次函数f(x)ax2bxc在闭
3、区间p，q(p0的情形为例)(1)若qb2a，则该函数的最大值为_，最小值为_(2)若pq2 b2aq，则该函数的最大值为_，最小值为_(3)若p b2ab2a，则该函数的最大值为_，最小值为_f(p)f(q)f(p)f b2af(q)f b2af(q)f(p)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接三、一元二次方程根的分布问题课前自修研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：(1)一元二次方程根的判别式；(2)相应二次函数区间端点函数值的符号；(3)相应二次函数图象抛物线的对称轴x b2a 与端点的位置关系考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基 础 自 测 1
4、已知函数yx24ax(1x3)是单调递增函数，则实数a的取值范围是()A.，12 B(，1 C.12，32 D.32，A解析：对称轴为 x2a，依题意，对称轴应在区间1，3的左侧(包括左端点)所以 2a1，得 a12.故选 A.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修2.“a0”是“方程ax210有一个负数根”的()A必要不充分条件 B充要条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件B解析：若a0，则由ax210得x21a，即x 1a，所以方程有一个负根；反之，若方程有一个负根，设为x0，则a 1x200.所以“a0”是“方程ax210有一个负数根”的充要条件故选B.考纲要求课前自修
5、考点探究感悟高考栏目链接课前自修3(2013揭阳一中段考)若函数f(x)(a22a3)x2(a3)x1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是()Aa|a1或a3 B1 Ca|a1或a3 Da|1a3B解析：依题意知函数f(x)为一次函数，所以a22a30，解得a1或a3.当a3时，f(x)1，值域不为R，故舍去故选B.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修4(2014江苏卷)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_ 22 m0解析：由二次函数图象可得 f(x)0，xm，m1恒成立，即f（m）2m210，f（m1）2m23m0，解得
6、22 m0.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修设x1，x2是实系数二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，则x1，x2分布范围与二次方程系数之间的关系见下表：根的分布x1x2kkx1x2x1kx2图象等价条件f(k)0考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修(续上表)根的分布x1，x2(k1，k2)k1x1k2x22x的解集为x|1x3，方程f(x)6a0有两相等实数根，求f(x)的解析式解析：设 f(x)2xa(x1)(x3)(a0)，则 f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即 16a216a436a20，整理得 5
7、a24a10，(5a1)(a1)0，解得 a15或 a1(舍去)，因此 f(x)的解析式为 f(x)15(x1)(x3)2x15x265x35.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点2 二次函数的单调性与对称性考点探究【例2】(1)已知函数f(x)2x2mx3，且当x2，)时是增函数，则m的取值范围是()A8，)B8，)C(，8 D(，8(2)若f(x)x2xa，f(m)0，则f(m1)的值()A是正数 B是负数C是非负数 D与m有关考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质，在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质考纲要求课
8、前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)函数的对称轴为 xm4，且图象的开口向上，当 xm4，时，函数是增函数若 x2，)时，函数是增函数，则m42，得 m8.故选 C.(2)函数的对称轴为 x12，f(m1)f(m)0 Db0(2)如果函数f(x)x2bxc对任意实数t都有f(2t)f(2t)，那么()Af(2)f(1)f(4)Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1)Df(4)f(2)f(1)A A考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)函数 yx2bxc(xR)的对称轴 xb2，函数 yx2bxc，x0，)是单调函数b2(0，)b20b0.故选 A
9、.(2)f(x)x2bxc，a1，抛物线开口向上又 f(2t)f(2t)，故 x2 是其对称轴，即当 x2 时，f(x)取最小值，且 f(1)f(3)而当 x2 时，f(x)是增函数，f(2)f(1)f(4)故选 A.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点3 求二次函数的最值(值域)考点探究【例3】求二次函数f(x)x22x3在区间t，t1(tR)上的最大值与最小值解析：f(x)x22x3()x1 22，其对称轴为x1.当t11，即t0时，f(x)在区间t，t1上是减函数，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t1)(t1)22(t1)3t22.当t1时，f(x)在区间t，
10、t1上是增函数，f(x)minf(t)t22t3，f(x)maxf(t1)(t1)22(t1)3t22.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究当t1t1，即0t1时，f(x)在区间t，1上是减函数，在区间1，t1上是增函数，f(x)minf(1)12232.(i)当1tt11，即0t12时，f(t)f(t1)，f(x)maxf(t)t22t3.(ii)当1tt11，即12t1时，f(t)12，f(x)mint22，t0，2，0t0，a1，f（1）3a0，解得2a3.(2)方程一根大于1，一根小于1，f(1)3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：解决二次方程根的分布
11、问题，主要方法是结合二次函数的图象从判别式、韦达定理、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件，这里涉及到三个“二次问题”的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究4(2014天津卷)已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_(0，1)(9，)解析：设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究由图可知 f(x)a|x1|0 有 4 个互异的实数根
12、等价于 y1|x23x|与 y2a|x1|的图象有 4 个不同的交点，且 4 个交点的横坐标都小于 1，所以yx23x，ya（1x）有两组不同解 消去 y 得 x2(3a)xa0 有两个不等实根，所以(3a)24a0，即 a210a90，解得 a1 或 a9.又由图象得 a0，0a1 或 a9.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点5 二次函数的综合问题考点探究【例5】设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0 x1x21.(1)求实数a的取值范围；(2)试比较f(0)f(1)f(0)与 116的大小，并说明理由考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解
13、析：(1)令g(x)f(x)xx2(a1)xa，则由题意可得（a1）24a0，01a2 1，g（1）0，g（0）0，解得a0，1a1，a32 2或a32 2，所以0a32 2.故所求实数a的取值范围是(0，32 2)(2)f(0)f(1)f(0)2a2，令h(a)2a2.因为当a0时，h(a)2a2单调递增，考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究所以当 0a32 2时，0h(a)h(32 2)，因为 h(32 2)2(32 2)22(1712 2)21712 2 116，所以 f(0)f(1)f(0)116.点评：(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在
14、一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点(2)对于二次函数yax2bxc(a0)在闭区间k1，k2上的最值问题，要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，而不是盲目使用配方法或公式法求最值(3)注意判别式的使用条件，一般来说，二次函数的定义域是实数集R的某一子集时，使用判别式往往会得出错误结果考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究5已知函数yf(x)的图象与函数h(x)x26x8的图象关于点(1，0)对称(1)求函数
15、f(x)的表达式；(2)设函数g(x)f(x)2x|x1a|，aR，求g(x)的最小值考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)设 yf(x)上的任意一点为(x，y)，则它关于点(1，0)的对称点的坐标为(2x，y)而点(2x，y)满足 yx26x8，y(2x)26(2x)8.yx22x.f(x)x22x.(2)由(1)得 g(x)x2|x1a|x2x1a，xa1，x2x1a，xa1 x12234a，xa1，x122a54，xa1.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究当 a112，即 a12时，g(x)ming12 34a.当12a112，即12a32时，g(x)
16、ming(a1)（a1）2.当 a112，即 a32时，g(x)ming12 a54.综上所述，g(x)min34a，a12，（a1）2，12a0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()品 味 高 考D解析：当 a0 时，由 abc0 知 b，c 同号，对应的图象应为 C 或D，在 C，D 两图中有 c0，故 b0，选项 D 符合，同理可判断当 a0 时，选项 A，B 都不符合题意故选 D.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考2(2014山东卷)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A.0，12 B
17、.12，1C(1，2)D(2，)B解析：方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，等价于函数 f(x)|x2|1 与 g(x)kx 的图象有两个不同的交点，在同一坐标系内分别作出其图象如图所示，当直线 g(x)kx 介于直线 yx，y12x 之间时符合题意，故 k的取值范围是(12，1)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考高 考 测 验1已知函数 yx2bxc，且 f(1x)f(x)，则下列命题成立的是()Af(x)在区间(，1上是减函数Bf(x)在区间，12 上是减函数Cf(x)在区间(，1上是增函数Df(x)在区间，12 上是增函数B解析：因为 f(1x)f(x)，所以对称轴是 x12.所以 f(x)在区间，12 上是减函数故选 B.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考2(2014上海卷)设 f(x)x，x（，a），x2，xa，）.若 f(2)4，则 a 的取值范围是_解析：由 f(2)4 可得 2a，)，即 a 的取值范围是a2.(，2考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接