1、山东省潍坊市2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷共4页，分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若向量与向量共线，则（ ）
2、A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据向量共线直接求解.【详解】因为向量与向量共线，所以，解得，所以，故选：B2. 已知过点，的直线的斜率为-1，则（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据题意，由直线的斜率公式可得，求解即可.【详解】过点，的直线的斜率为,解得，故选：C3. 两圆x2+y2=9和x2+y28x+6y+9=0的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切【答案】B【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与Rr及d与R+r的大小，即可得到两圆的位
3、置关系解：把x2+y28x+6y+9=0化为（x4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d=5，因为4354+3即RrdR+r，所以两圆的位置关系是相交故选B考点：圆与圆的位置关系及其判定4. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈立方寸
4、），一斛粟米卖324钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）A. 200两B. 400两C. 432两D. 480两【答案】D【解析】【分析】计算底面半径为，换算单位得到答案.【详解】底面半径为，立方丈立方寸斛，故两.故选：5. 已知直线与直线垂直，则实数（ ）A. B. 0或C. 0或D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求出a的值.【详解】因为直线与直线垂直，所以解得或.故选：C6. 过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆心的坐标为，根据圆心到点、的距离相等可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心的
5、坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.【详解】设圆心，由可得，整理可得，解得，所以圆心，所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.故选：A.【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标，根据题意列出关于、的方程即可；（2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.7. 已知棱长为1的正方体中，分别为，的中点；则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立
6、空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线EF与BD所成的角.【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，设异面直线EF与BD所成的角为，则，异面直线EF与BD所成的角为60故选：C8. 如图，在菱形中，是的中点，将沿直线翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】证明平面，得，求得，在等腰三角形中，由等面积法求点到直线的距离【详解】如图，是的中点，在菱形中，得、是等边三角形，即，正三角形中，是的中点，则，可得，又面面，且面面，平面，则，在中，由，可得，在等腰三角形中，取的中点，连接，可得，设点到直线
7、的距离为，则由等面积法可得，故选：A二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.9. 若，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】ABC【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若，则，选项A正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若，则，选项B正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若，则平面内存在直线，满足，则，然后利用面面
8、垂直的判定定理可得，选项C正确；在如图所示的正方体中，取平面分别为平面，直线为棱，满足，但是不满足，选项D错误；故选：A B C.10. 在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出结论.【详解】由图A可得直线l1的斜率a 0，在y轴上的截距b0，而l2的斜率b0，在y轴上的截距-a 0，故A能成立；由图B可得直线l1,斜率a 0，在y轴上的截距b 0 ，而l2的斜率b0，在y轴上的截距-a 0，即a0，矛盾，故B不能成立；由图C可得直线l1,的斜率a 0，
9、而l2的斜率b 0，在y轴上的截距-a 0，即a0，故C能成立；由图D可得直线l1,的斜率a0，在y轴上的截距b0，在y轴上的截距-a 0，即a0，矛盾，故D不能成立.故选：AC【点睛】关键点点睛：判断此类问题，主要方法假设其中一条直线的方程是正确的，推导另外一条直线的斜率与在y轴上的截距，看是否矛盾，无矛盾选项正确，有矛盾选项错误.11. 如图，正四棱台的高为，则下述正确的是（ ）A. B. C. 三棱锥外接球的半径为D. 点到面的距离为【答案】ABD【解析】【分析】利用正四棱台的结构特点分析AB选项；根据的长度关系确定外接球的球心，从而求解出外接球的半径并判断C选项；利用等体积法分析点到面
10、的距离并判断D选项.【详解】连接，连接，连接，如下图所示：对于A：因为几何体为正四棱台，所以，又，所以，又因为，所以，故正确；对于B：因为几何体为正四棱台，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以，故正确；对于C：由上可知，均等腰直角三角形，所以，所以三棱锥的外接球的球心为，且半径等于，故错误；对于D：设点到面的距离为，又，所以，且，所以，故正确，故选：ABD.【点睛】方法点睛：平面外一点到平面的距离的求解方法：（1）等体积法：通过替换顶点和底面，利用体积相等关系求解出点面距离；（2）向量方法：建立合适空间直角坐标系，在平面内取一点；求解出和平面的法向量；根据即可求解出点到平面的距离.12. 已
11、知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）A. 当时，直线与圆相交B. 为圆上的点，则的最大值为C. 若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是D. 若直线上存在一点，圆上存在两点、，使，则的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】计算圆心到直线的距离，并和圆的半径比较大小，可判断A选项的正误；求出圆上的点到点的距离的最大值，可判断B选项的正误；根据已知条件求出实数的取值范围，可判断C选项的正误；分直线与圆有公共点和直线与圆相离两种情况讨论，结合题意得出关于实数的不等式，求出实数的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，圆的圆心为，圆心到直线的距离为，此时，
12、直线与圆相交，A选项正确；对于B选项，点到点的距离的最大值为，所以，的最大值为，B选项错误；对于C选项，当圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，如下图所示：由于圆的半径为，则圆心到直线的距离满足，解得，即，解得或，C选项错误；对于D选项，若点为直线与圆的公共点，只需当为圆的一条直径（且、不与点重合），则；若直线与圆相离，过点作圆的两条切线，切点分别为、，由题意可得，所以，设点，可得，即，即，则存在，使得成立，可得，解得，D选项正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：对于B选项，解题的关键点就是要分析出，对于D选项，解题的关键就是要分析出，进而得出，转化为关于的不等式有解求参数.三、填空题（本大题共
13、4个小题，每小题5分，共20分.）13. 点到直线的距离为_.【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式即可得出【详解】利用点到直线的距离可得：故答案为:14. 一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为米，公共的底面是边长为1米的正方形，那么这个漏斗的容积为_米.【答案】【解析】【分析】由已知分别求出长方体与棱锥的体积，作和得答案.【详解】由长方体体积公式可得，容器上半部分的体积.由棱锥体积公式可得，容器上半部分的体积,则这个漏斗的容积为.故答案为: 15. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为_.【答案】或【解析】【分析】由题意可知
14、点在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为，利用直线与圆的相切的性质即可得出.【详解】由题意可知点在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为，即.圆的圆心，半径为1，由直线与圆相切的性质可得，解得或.故答案为：或16. 如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则_.已知，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】取的中点为E，分别连接和，利用面面平行的性质定理证明，又，可证得四边形为平行四边形，进而可得为的中点，进一步计算可得的值；球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，通过分析计算可得为等边三角形，进而可求出弧PQ的长度.【详解】取的中点为E
15、，分别连接和，细查题意知，只有当是的中点时，才满足题意，原因如下：当是的中点时，平面，平面，平面平面，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，又，四边形平行四边形，即为的中点，所以；球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，即，易得，取的中点为，故可得，平面平面，平面，平面平面，圆心距，设交线的轨迹为PQ，截面圆半径，又因为，所以为等边三角形，.故答案为：1，.【点睛】方法点睛：对于第一空，证明四边形为平行四边形，可利用面面平行的性质定理；对于第二空，通过作出图形，分析截面圆的特征，然后进行几何计算，进而得出为等边三角形，最后计算弧长.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.
16、如图，在空间四边形中，点为的中点，设，.（1）试用向量，表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1）根据向量的运算性质求出即可；(2）根据向量的运算性质代入计算即可.【详解】（1），故点E为AD的中点，故（2）由题意得故故18. 已知圆：过点.（1）求圆的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线分别与轴，轴交于、两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围.【答案】（1），圆心为，半径为（2），【解析】【分析】（1）把点的坐标代入圆的方程求得值，可得圆的方程，配方化为圆的标准方程，求得圆心坐标与半径；（2）由题意得与的坐标，求得，再求出圆心到直线的距离，可得点到直线的距离的最
17、小值与最大值，则面积的取值范围可求【详解】（1）由题意，解得；圆的方程为，化为标准方程：，圆心为，半径为；（2）由题意得，圆心到直线的距离，点到直线的距离的最小值为，最大值为的面积的最小值为，最大值为面积的取值范围是，【点睛】关键点点睛：求圆上一点到直线的距离的最大值与最小值，先求圆心到直线的距离d,则分别是圆上点到直线的距离的最大值与最小值.19. 从，是的中点，是的内心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，、分别为、的中点.（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）若是侧面上的一点，且_，求三棱锥的体积.注：如果选择多个条件分别解
18、答，则按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）选，；选，；选，.【解析】【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）推导出平面.选或，推导出平面，计算出和的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积；选，设的内切圆切于点，推导出平面，计算出和的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）平面，理由如下：如下图所示，连接，因为四边形为矩形，且点为的中点，则点为的中点，又因为为的中点，所以，平面，平面，平面；（2）四边形为矩形，则，平面，平面，平面.为的中点，则.选：，则，平面，且，；选：、分别为、的中点，且，平面，平面，
19、；选：设的内切圆切于点，连接，则，平面，平面，在平面内，则，平面，由等面积法可得，所以，所以，.【点睛】方法点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）若所给定的几何体可直接利用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解；（3）若以三视图的形式给出的几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.20. 某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求
20、直线的方程；（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.【答案】（1）直线的方程为（2）的长度为36【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，即可写出直线的方程；（2）利用点到直线的距离求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出、的坐标，即可计算的长度【详解】（1）因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为；（2）设，的方程为，所以点到直线的距离为：，解得或（不合题意，舍去）；所以，设，所以为的中点，在上；所以，解得，所以的长度为21. 如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点.（1）求证：；（2）若
21、，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明平面即可得出；（2）建立空间坐标系根据直线与平面所成角的正弦值为求出的坐标，再求出平面的法向量，计算和的夹角得出二面角的大小【详解】（1）证明：四边形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆的直径，是圆柱的母线，平面，又，平面，又平面，（2），以为原点，以，及平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，1，0，0，1，1，1，1，设，则，设平面的法向量为，则，即，令可得，3，直线与平面所成角的正弦值为，解得，3，由（1）可知平面，0，为平面的法向量，平面与平面所成锐二
22、面角的余弦值为【点睛】关键点点睛：求二面角的夹角的相关问题，优先考虑建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量夹角的方式求解更优.22. 在平面直角坐标系中，点在直线：上，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，.（1）求圆的标准方程；（2）若点不在第一象限内，圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且两直线的斜率之积为-5，试判断直线是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）或；（2）过定点【解析】【分析】（1）设点，由题知，且，解方程可得，进而得出圆的标准方程；（2）设直线：,代入圆方程：，设，又，利用韦达定理代入化简得或，就可以判断出直线过的定点.【详解】（1）设点，因为以线段为直径的圆与直线相交于点，所以，即，解得：，所以，故点，又，且，所以，解得：或，当时，所以圆的标准方程为：；当时，所以圆的标准方程为：；（2）因为点不在第一象限内，所以圆方程为：，则点，设直线：,则由得：，设，则，又，化简得：，所以，化简得：，所以，所以或，当时，直线:，过点，不符合题意，应舍去，当时，直线:，过定点.【点睛】关键点睛：（1）解决第（1）问时，能够将题中的几何性质转化为向量进行计算求解；（2）解决第（2）问时，能够利用韦达定理转化这个条件，得到两个参数的关系，从而得到直线所过的定点.