1、章末综合检测(五) (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1“复数z是实数”的充分不必要条件为()A|z|zBzCz2是实数 Dz是实数解析：选A.由|z|z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|z，如z2，此时|z|z，故“|z|z”是“z为实数”的充分不必要条件2已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，若z1z2是纯虚数，则有()Aac0，且bd0Bac0，且bd0Cac0，且bd0Dac0，且bd0解析：选A.z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i，因为z1z2是纯虚数，所以ac0
2、，且bd0.3i是虚数单位，()A.i B.iC.i D.i解析：选B.i.4若复数z(1i)(xi)(xR)为纯虚数，则|z|等于()A2 B.C. D1解析：选A.因为zx1(x1)i为纯虚数且xR，所以得x1，z2i，|z|2.5在ABCD中，点A，B，C分别对应复数4i，34i，35i，则点D对应的复数是()A23i B48iC48i D14i解析：选C.对应的复数为(34i)(4i)13i，设点D对应的复数为z，则对应的复数为(35i)z，由平行四边形法则知，所以13i(35i)z，所以z(35i)(13i)48i.6若xC，则方程|x|13ix的解是()A.i Bx14，x21C4
3、3i D.i解析：选C.令xabi(a，bR)，则13iabi，所以解得故原方程的解为43i.7设复数z满足条件|z|1，那么|z2i|的最大值是()A3 B4C12 D2解析：选B.因为|z|1，所以z对应的点在以原点为圆心的单位圆上，|z2i|表示圆上的点到(2，1)的距离，最大值为1 4.8若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0 B1C1 D2解析：选A.因为z1i，所以1i，所以z22(1i)2(1i)22i2i0，故z22的虚部为0.9定义运算adbc，则符合条件42i的复数z为()A3i B13iC3i D13i解析：选A.由定义知ziz，得ziz4
4、2i，即z3i.10i是虚数单位，若集合S2，0，1，则()Ai2 015S B2i2 014SCi2 013S DiS解析：选D.in以4为周期重复出现i2 015i45033i3i，i2 014i45032i21，2i2 0142，i2 013i45031i，ii212S，故选D.11复数z满足条件：|2z1|zi|，那么z对应的点的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选A.设zxyi(x，yR)，|2z1|zi|，则(2x1)24y2x2(y1)2，即表示以为圆心，半径为的圆12如果复数z满足|zi|zi|2，那么|z1i|的最小值是()A1 B.C2 D.解析：选A.|zi|
5、zi|2，则复数z在复平面对应的点Z在以(0，1)和(0，1)为端点的线段上，|z1i|表示点Z到(1，1)的距离由图可知最小值为1.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13若复数zcos sin i所对应的点在第四象限，则为第_象限角解析：因为复数z对应的点(cos ，sin )在第四象限，所以所以所以为第一象限角答案：一14已知复数z13i，z2是复数12i的共轭复数，则复数的虚部等于_解析：i，其虚部为.答案：15已知z2i，则z34z25z2_解析：z34z25z2(2i)34(2i)25(2i)2211i1216i105i22.答案：216投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复
6、数(mni)2为纯虚数的概率为_解析：投掷两颗骰子共有36种结果因为(mni)2m2n22mni，所以要使复数(mni)2为纯虚数，则有m2n20，即mn，共有6种结果，所以复数(mni)2为纯虚数的概率为.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)计算：.解：原式0i(i)1 602ii21i.18(本小题满分12分)实数m分别取什么值时，复数z(1i)m2(52i)m615i：(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在第三象限；(5)对应点在直线xy50上；(6)共轭复数的虚部为12.解：z(1i)m2(52i)m615i(m25m6)
7、(m22m15)i.因为mR，所以z的实部为m25m6，虚部为m22m15.(1)若z是实数，则m5或m3.(2)若z是虚数，则m22m150m5且m3.(3)若z是纯虚数，则m2.(4)若z对应的点在第三象限，则3m24，即两圆外离，所以|z1z2|max63，|z1z2|min36.22(本小题满分12分)设i为虚数单位，复数z和满足z2iz2i10.(1)若z和满足z2i，求z和的值；(2)求证：如果|z|，那么|4i|的值是一个常数，并求这个常数解：(1)因为z2i，所以z2i.代入z2iz2i10，得(2i)(2i)2i10，所以4i2i50.设xyi(x，yR)，则上式可变为(xyi)(xyi)4i(xyi)2i(xyi)50.所以x2y26y52xi0.所以所以或所以i，zi或5i，z3i.(2)由z2iz2i10，得z(2i)2i1，所以|z|2i|2i1|.设xyi(x，yR)，则|2i|x(y2)i|.|2i1|(2y1)2xi|.又|z|，所以可化为3(x2y24y4)4x24y24y1.所以x2y28y11.所以|4i|x(y4)i|3.所以|4i|的值是常数，且等于3.