1、第二学期第一次考试高二年级 数学试卷（理科） 注意事项：本试卷共页，22小题，满分，考试用时分钟.一、选择题：(本大题共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1曲线在(1,1)处的切线方程是 A BC D2已知z153i，z254i，则下列各式正确的是Az1z2 Bz1|z2| D|z1|0恒成立因为f(x)x3在(1,1)内可导且单调递增，所以在(1,1)内，f(x)3x20恒成立，以上推理中()A大前提错误 B小前提错误 C结论正确 D推理形式错误5由曲线、 、y=o所围图形的面积为 6用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立推
2、证nk1时，左边应增加的项数是A2k1 B2k1 C2k D2k17黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖的块数是 A B C D8设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf (x)的图象可能是9若，则复数(cossin)(sincos)i在复平面内所对应的点在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限10已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是A(，)(，) B(，)C(，) D，11在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥的三个侧面
3、、两两互相垂直”，则可得ABCD12已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是A，3 B，6 C3,12 D，12二、填空题：(本大题共小题，每小题分，满分分)13定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数 。14一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0s到t3s时间段内的位移是_。15已知有极大值又有极小值，则得取值范围是_。16观察下列式子 ， , ,则可归纳出第n个式子为_。三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程或步骤。17（本小题满分10分）把复数z的共轭复数记作，已知(12
4、i)43i，求z及。18（本小题满分12分）已知，是正实数，求证：。19（本小题满分12分）已知数列中，（1）求；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明。20（本小题满分12分）已知函数f(x)x3ax2bx5，若曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x时，yf(x)有极值。（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在4,1上的最大值和最小值。21（本小题满分12分）如图，设点P在曲线yx2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线yx2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x2与曲线yx2所围成图形的面积为S2。（1）当S1S2时，求点P的坐标；（2）当S1S2取
5、最小值时，求点P的坐标及此最小值。22 (本小题满分12分)已知函数f(x)ln(ax1)(x0，a0)，g(x).（1）讨论函数yf(x)g(x)的单调性；（2）若不等式f(x)g(x)1在x0，)时恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a1时，证明：f(n)(nN*)。第二学期第一次考试高二年级 数学试卷（理科答案）一、选择题：(本大题共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案DDBADCAABDCc二.填空题：13、1-i 14、36m 15、 16、三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明
6、，证明过程或步骤。17（本小题满分10分）解:设zabi(a，bR)，则abi，由已知得：(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，得a2，b1，z2i.i.18、（本小题满分12分）证明：要证，只需证即证即证即证，即该式显然成立，所以19、（本小题满分12分）解：（1） （2），证明略20、(本题满分12分)解：f (x)3x22axb，(1)由题意得，解得经检验得x时，yf(x)有极小值，所以f(x)x32x24x5.(2)由(1)知，f (x)3x24x4(x2)(3x2)令f (x)0，得x12，x2，f (x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：x4(4，
7、2)2(2，)(，1)1f (x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值11134f()，f(2)13，f(4)11，f(1)4，f(x)在4,1上的最大值为13，最小值为11.21(本题满分12分) 解：(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则点P的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为ytx.S1(txx2)dxt3，S2(x2tx)dx2tt3，因为S1S2，所以t32tt3，解得t，故点P的坐标为(，)(2)令SS1S2，由(1)知，St32tt3t32t，则St22，令S0，得t220，因为0t2，所以t，又当0t时，S0；当t0；故当t时，S1S2有最小值，最小值为，此
8、时点P的坐标为(，2)22、 (本题满分12分) 解：(1)yf(x)g(x)ln(ax1)，y，当a1时，y0，所以函数yf(x)g(x)是0，)上的增函数；当0a0得x2，所以函数yf(x)g(x)在上是单调递增函数，函数yf(x)g(x)在上是单调递减函数；(2)当a1时，函数yf(x)g(x)是0，)上的增函数所以f(x)g(x)f(0)g(0)1，即不等式f(x)g(x)1在x0，)时恒成立，当0a1时，函数yf(x)g(x)是上的减函数，存在x0，使得f(x0)g(x0)g(x)1在x(0，)时恒成立，即ln(x1)，所以ln(kN*)，即ln(k1)lnk所以(ln2ln1)，(ln3ln2)，(ln4ln3)，ln(n1)lnn将上面各式相加得到，(ln2ln1)(ln3ln2)(ln4ln3)(ln(n1)lnn)ln(n1)f(n)原不等式成立