1、第2讲 导数的应用(一)一、选择题1与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10解析设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.答案D2若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是 ()A(2，) B(2，)C(，2) D(，2)解析由条件得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k(2，)答案A3函数f(x)(4x)ex的单调递减区间是 ()A(，4) B(，3)C(4，) D(3，)解析f(x)ex(4x)exex(3x)，令f
2、(x)0，3x3.答案D4函数f(x)ax3bx在x处有极值，则ab的值为()A2 B2 C3 D3解析 f(x)3ax2b，由f3a2b0，可得ab3.故选D.答案 D 5对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)解析不等式(x1)f(x)0等价于或可知f(x)在(，1)上递减，(1，)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)f(2)2f(1)答案C6已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示下列关于函数f(x)的命题：函数yf(x)是周期函数；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1
3、，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点其中真命题的个数有 ()A4 B3 C2 D1解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此不正确；当x(0,2)时，f(x)0，因此函数f(x)在0,2上是减函数，正确；当x1，t时，f(x)的最大值是2，依题意，结合函数f(x)的可能图象形状分析可知，此时t的最大值是5，因此不正确；注意到f(2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1a0，当x(0,2)时，f(x)0，显然当x2时f(x)取极小值答案 29若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
4、_解析f(x)5ax4，x(0，)，由题意知5ax40在(0，)上有解即a在(0，)上有解x(0，)，(，0)a(，0)答案(，0)10已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_解析yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.答案(，1)(3，)三、解答题11设函数f(x)ax33x2，(aR)，且x2是yf(x)的极值点，求函数g(x)exf(x)的单调区间解f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点所以f(2)0，
5、即6(2a2)0，因此a1，经验证，当a1时，x2是函数f(x)的极值点，所以g(x)ex(x33x2)，g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因为ex0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)和(，)；单调减区间是(，)和(0，)12已知函数f(x)x3ax1(1)若f(x)在(，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由解 (1)f(x)3x2a由0，即12a0，解得a0，因此当f(x)在(，)上单调递增时，a的取值范围是(，0(2)若f(x)在(1,1)上单调递减，则对于任意x(1,1)不等式f(x)3x2a0恒成立即a3x2，又x(1,1)，则3x2e2.注：e是自然对数的底数(1)解易知函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)，f(x).由函数f(x)在内有极值，可知方程f(x)0在内有解，令g(x)x2(a2)x1(x)(x)不妨设0e，又g(0)10，所以g1e2.(2)证明由(1)知f(x)00x，f(x)0x1或1xe)，则h()120，所以函数h()在(e，)上单调递增，所以f(x2)f(x1)h()h(e)2e.