1、5简单复合函数的求导法则1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)，其中u为中间变量2简单复合函数的求导法则若yf(u)，u(x)，则yxf(x)f(u)(x)即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积特别地，当uaxb时，yxaf(u)注意求复合函数的导数，关键在于弄清复合函数的结构，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()
2、(2)函数yln sin|x|由yln u，usin|x|复合而成()答案：(1)(2) 函数ye2x4在x2处的切线方程为()A2xy30B2xy30Cexy2e10 Dexy2e10解析：选A.y(e2x4)e2x4(2x4)2e2x4，所以k2e2242.把x2代入ye2x4，得y1，所以切点为(2，1)所以函数ye2x4在x2处的切线方程为y12(x2)，所以2xy30. 已知函数f(x)(2x1)2的导数为f(x)，则f(1)()A1 B2C3 D4解析：选D.f(x)2(2x1)28x4，则f(1)8144. 函数ycos的导数为_解析：ysin(3)3sin .答案：3sin复合
3、函数求导的一般方法(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导 复合函数的导数运算求下列函数的导数：(1)y；(2)ycos x2；(3)ysin；(4)y.【解】(1)令u13x，则yu4，所以yu4u5，ux3.所以yxyuux
4、12u5.(2)令ux2，则ycos u，所以yxyuuxsin u2x2xsin x2.(3)令u2x，则ysin u，所以yxyuuxcos u22cos.(4)令u1x2，则yu，所以yxyuuxu2xxu .求复合函数的导数的步骤 1.求下列函数的导数(1)y(x24)2；(2)ylog2(2x23x1)；(3)yesin(axb)解：(1)y2(x24)(x24)2(x24)2x4x316x.(2)ylog2(2x23x1)(2x23x1).(3)yesin(axb)esin(axb)sin(axb)esin(axb)cos(axb)(axb)acos(axb)esin(axb)复合
5、函数求导的应用设f(x)ln (x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0，0)点相切求a，b的值【解】由曲线yf(x)过(0，0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0，0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键 2.已知函数f(x)ln(ax1)，x0，其中a0，若f(1)0，则a_解析：f(x)ln
6、(ax1)，所以f(1)0，所以a1.因此实数a的值为1.答案：1易错警示对复合函数求导因层次不清致误函数ysinnxcos nx的导数为_【解析】y(sinnx)cos nxsinnx(cos nx)nsinn1x(sin x)cos nxsinnx(sin nx)(nx)nsinn1xcos xcos nxsinnxsin nxnnsinn1x(cos xcos nxsin xsin nx)nsinn1xcos(n1)x【答案】nsinn1xcos(n1)x本题解答过程中对cos nx求导时，易漏掉对nx求导而导致求导错误对较复杂函数求导时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数
7、，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明.1函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)n Dy(t1)n，tx21解析：选A.由复合函数求导法则知A正确2设函数f(x)(12x)10，则f(1)()A0 B1C20 D20解析：选D.因为f(x)10(12x)9(2)20(12x)9，所以f(1)20.3已知f(x)e2x2x，则_解析：f(x)(e2x)(2x)2e2x22(e2x1)所以2(ex1)答案：2(ex1)4求曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离解：作出直线2xy30
8、和曲线yln(2x1)的图像可知它们无公共点，所以平移直线l使之与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离因为y(2x1).设切点为P(x0，y0)所以2，所以x01.所以y0ln(211)0，所以P(1，0)所以曲线yln(2x1)上的点到l：2xy30的最短距离为P(1，0)到直线l：2xy30的距离，d. A基础达标1函数y的导数为()A5 B5C5 D5解析：选C.函数y是函数yu5与ux的复合函数，所以yxyuux5.2函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.解析：选B.yxln(2x5)xln(2x5)xl
9、n(2x5)ln(2x5)x(2x5)ln(2x5).3某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为yf(t)，则在时刻t40 min的降雨强度为()A20 mm B400 mmC. mm/min D. mm/min解析：选D.f(t)10，所以f(40).4函数ysin 2xcos 2x的导数是()A2cos Bcos 2xsin 2xCsin 2xcos 2x D2cos解析：选A.y(sin 2xcos 2x)(sin 2x)(cos 2x)cos 2x(2x)sin 2x(2x)2cos 2x2sin 2x2cos.5函数f(x)cos 2x在点处的
10、切线方程是()A4x2y0 B4x2y0C4x2y0 D4x2y0解析：选D.因为f(x)(cos 2x)sin 2x(2x)2sin 2x，所以kf2sin 2.所以切线方程为y02.即4x2y0.6若f(x)log3(2x1)，则f(2)_解析：因为f(x)log3(2x1) (2x1)，所以f(2).答案：7若f(x)且f(1)2，则a的值为_解析：因为f(x)(ax21)，所以f(x)(ax21) (ax21) .又f(1)2，所以2，所以a2.答案：28曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形面积是_解析：因为y2e2x，所以y|x02，切线方程为y2x2.所
11、以所围成的三角形的三个顶点为(0，0)，(1，0)，.所以S1.答案：9求下列函数的导数：(1)ycos(1x2)；(2)ysin2；(3)yln(2x2x)；(4)yx.解：(1)设u1x2，ycos u，所以yxyuux(cos u)(1x2)sin u2x2xsin(1x2)(2)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2ucos v24sin vcos v2sin 2v2sin.(3)设u2x2x，则yxyuux(ln u)(2x2x)(4x1).(4)yxx().先求t的导数设u2x1，则tu，txtuuxu(2x1)2 .所以y .10求曲线y在点处的切线方程解：因为y(
12、x23x)(x23x)(x23x) (2x3)，所以曲线在点处的切线斜率k(1612) (83).所以适合题意的切线方程为y(x4)，即5x16y280.B能力提升11曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2De2解析：选D.由导数的几何意义，切线的斜率ky|x4e|x4e2，所以切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2；令y0，得x2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S2e2e2.12已知函数f(x)ln(x1)，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_解析：因为f(x).所以f(0)，而f(0)，因此曲线yf(x)在点(0，
13、f(0)处的切线方程为y(x0)，即7x4y20.答案：7x4y2013曲线f(x)e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为，求l的方程解：由题意，知f(x)(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3x3e2xsin 3x，所以曲线在(0，1)处的切线的斜率为kf(0)2，所以该切线方程为y12x，所以y2x1，设l的方程为y2xm，则d，解得m4或m6.当m4时，l的方程为y2x4，即2xy40.当m6时，l的方程为y2x6，即2xy60.综上可知，l的方程为2xy40或2xy60.14(选做题)已知曲线C1：y1x2与C2：y2(x2)2，若直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程解：法一：设直线l与曲线C1、C2分别相切于A(a，a2)，B(b，(b2)2)因为两曲线对应函数的导函数分别为y2x，y2(x2)，当xa时，y2a，当xb时，y2(b2)，易知2a2(b2)，由题意，可得2a2b4，即解得或所以A为(2，4)或(0，0)，切线的斜率k4或0，从而得到切线l的方程为y4x4或y0.法二：设l与C1、C2相切时切点的横坐标分别为a、b，直线l的斜率为k，根据题意，得y2x，y2(x2)则k2a2(b2)可得a，b，所以切点的坐标分别为，则k，解得k0或4.故所求的切线方程为y4x4或y0.
