1、1变化的快慢与变化率1平均变化率定义对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为实质函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量(yf(x2)f(x1)与自变量的改变量(xx2x1)的比值，即作用刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢2.平均速度设物体运动路程与时间的关系是sf(t)，在t0到t0t这段时间内，物体的平均速度是v.注意在匀速直线运动中，比值是恒定的在非匀速直线运动中，比值不是恒定的3瞬时速度作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度设物体运动的路程与时间之间的关系是sf(t)，当t趋
2、近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为0.41.()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)在计算平均变化率时，x，y都不可能为零()答案：(1)(2)(3) 如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是()A1B1C2 D2解析：选B. 1. 在x1附近，取x0.3，在四个函数：yx；yx2；yx3；y中，平均变化率最大的是()A BC D解析：选B.根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化
3、率依次为1，2.3，3.99，故选B. 函数yf(x)3x22x8在x13处有增量x0.5，则f(x)从x1到x1x的平均变化率为_解析：yf(x1x)f(x1)f(3x)f(3)f(3.5)f(3)8.75，所以17.5.答案：17.51对平均变化率的几点说明(1)对于式子，xx2x1，yf(x2)f(x1)的值可正、可负，但xx2x1的值不能取0，因为x是“增量”，yf(x2)f(x1)的值可以取0(如函数f(x)为常数函数时，y0)(2)在式子中，y与x是相对应的“增量”，即当xx2x1时，yf(x2)f(x1)(3)在式子中，当x1取定值，x取不同的数值时，函数的平均变化率不同当x取定
4、值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不同 (4)求函数平均变化率通常用“两步法”：一是作差，二是作商，即先求出yf(x2)f(x1)和xx2x1，再对所求得的差作商，即得.(5)函数f(x)的平均变化率表示函数图像上(x1，f(x1)，(x2，f(x2)两点连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，平均变化率越大，曲线越陡2对瞬时速度的两点说明(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率(2)当t在变化中趋于0时，比值趋于一个确定的常数，这时此常数称为t0时刻的瞬时速度 3对瞬时变化率的两点说明(1)平均变化率与瞬时变化率的关系区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时
5、变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值(2)“x趋于0”的含义x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0. 平均变化率问题已知函数f(x)2x23x5.(1)当x14，且x1时，求函数增量y和平均变化率；(2)求(1)中的平均变化率的几何意义【解】因为f(x)2x23x5，所以yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.(1)当x14，x1时，y212(443)121，则21.(2)在(1)中，
6、它表示抛物线上点A(4，39)与点B(5，60)连线的斜率求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量xx2x1；第二步，求函数值的增量yf(x2)f(x1)；第三步，求平均变化率. 1.(1)已知函数yf(x)x2x的图像上的一点A(1，2)及邻近一点B(1x，2y)，则()A3B3x(x)2C3(x)2 D3x(2)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_解析：(1) 3x.(2)因为y2313，所以.答案：(1)D(2)求瞬时速度一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)(1)求质点在1，1t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t1时的瞬时
7、速度【解】(1)质点在1，1t这段时间内的平均速度为(63t)(m/s)(2)由(1)知63t.当t趋于0时，趋于6，所以质点在t1时的瞬时速度为6 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度v.(3)求瞬时速度，当t趋于0时，趋于常数v，即为瞬时速度 2.(1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义(2)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)tt2
8、.求此物体从t0到t3时的平均速度；求此物体的初速度；求此物体在t3时的瞬时速度解：(1)在xx0处的平均变化率为x2x07.当x趋于0时，趋于2x07，因此第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5.其说明在2 h附近，原油温度大约以3 /h的速率下降；在6 h附近，原油温度大约以5 /h的速率上升(2)v4.该物体从t0到t0t时的平均速度为1t，由t趋于0得t0时的瞬时速度为1.即此物体的初速度为1.该物体从t3到t3t时的平均速度为7t.由t趋于0得t3时的瞬时速度为7.易错警示对两“变化率”理解错误致误若一物体的运动方程如下(位移单位：m；时间单位：s)：s求：(1)物
9、体在t3，5内的平均速度；(2)物体的初速度v0.【解】(1)因为物体在t3，5内的时间变化量为t532，物体在t3，5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，所以物体在t3，5内的平均速度为24(m/s)(2)求物体的初速度v0即求物体在t0时的瞬时速度因为物体在t0附近的平均变化率为3t18，所以物体在t0时的瞬时速度为18 m/s.即物体的初速度v0为18 m/s.解答(1)时易出现用t5与t3时的瞬时速度的平均值来求平均速度；解答(2)时易颠倒s(t0t)s(t0)中s(t0t)和s(t0)的顺序平均速度应利用位移的改变量与时间段的比值来计算，方法要记牢解答有关瞬时速
10、度的问题时，需谨记分子与分母的顺序要保持一致，切忌上下颠倒.1对于函数y，当x1时，y的值是()A1B1C0.1 D不能确定解析：选D.函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求y，必须指明在哪一点附近的函数改变量2某物体的运动规律是ss(t)，则该物体在t到tt这段时间内的平均速度是()Av BvCv Dv解析：选A.由平均速度的定义可知，物体在t到tt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比所以v.3设f(x)，则_解析：f(x)f(a)，所以.答案：4一水库的蓄水量与时间关系图像如图所示，试指出哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？解：由图像可
11、以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好；8月至10月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差 A基础达标1已知函数f(x)x35x3，则从x12到x22x的自变量的增量为()A2B2xCx D以上都不对解析：选C.自变量的增量xx2x1(2x)2x.2设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A2.1 B1.1C2 D0解析：选A.2.1.3观察函数f(x)的图像(如图)，平均变化率表示()A直线AB的点斜式方程B直线AB的斜截式方程C直线AB的两点式方程D直线AB的斜率解析：选D.tanBACkAB.4一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单
12、位：s)之间的函数关系为s(t)5t2mt，且这一物体在2t3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为()A2 B1C1 D6解析：选B.由已知，得26，所以(5323m)(5222m)26，解得m1，选B.5某物体做直线运动，其运动规律是st2(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A.米/秒 B.米/秒C8米/秒 D.米/秒解析：选B.因为t8.当t趋于0时，趋于，所以它在4秒末的瞬时速度为米/秒6. 如图所示，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_解析：由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x
13、2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别为：，结合图像可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4答案：x3，x47某日中午12时整，甲车自A处以40 kmh的速度向正东方向行驶，乙车自A处以60 kmh的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为_解析：100 kmh.答案：100 kmh8函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，则t_解析：因为函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，所以2，即t2t62t4，从而t23t100，解得t5或t2(舍去)答案：59若函数f(x)x2x在2，2x(x0)上的平均变化率不大于1
14、，求x的范围解：因为函数f(x)在2，2x上的平均变化率为3x，所以由3x1，得x2.又因为x0，即x的取值范围是(0，)10求函数yx2在x1，2，3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.若x，则k12，k24；k36，由于k1k2k2 Bk10.4，所以该婴儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化较快14(选做题)某一运动物体，在x s时离出发点的距离(单位：m)是f(x)x3x22x.(1)求在第1 s内的平均速度；(2)求在1 s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?解：(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为 m/s.(2)63x(x)2.当x趋于0时，趋于6，所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.(3)2x22x2(x)22xxx.当x趋于0时，趋于2x22x2，令2x22x214，解得x2 s，即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.