1、4.5函数yAsin(x)的图象及应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤如下：1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)作函数ysin(x)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)这五个点()(2)将y3sin 2x的图象向左平移个单位后所得图象的解析式是y3sin(2x)()(3)ysin(x)的图象是由
2、ysin(x)的图象向右移个单位得到的()(4)ysin(2x)的递减区间是(k，k)，kZ.()(5)函数f(x)sin2x的最小正周期和最小值分别为，0.()(6)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()2把函数ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()Ax BxCx Dx答案A解析将ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin(2x)；再将图象向右平移个单位，得到函数ysin2(x)sin(2x)，x是其图象的一条对称轴方程3(2013
3、四川)函数f(x)2sin(x)(0，0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于()A. B3 C6 D9答案C解析由题意可知，nT (nN*)，n (nN*)，6n (nN*)，当n1时，取得最小值6.5已知简谐运动f(x)2sin (|)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为_答案6，解析由题意知12sin ，得sin ，又|0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到思维启迪将f(x)化为一个角的一个三角函
4、数，由周期是求，用五点法作图要找关键点解(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象方法二将ysin x的图象上每一点的
5、横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(
6、2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象题型二求函数yAsin(x)的解析式例2(1)已知函数f(x)2sin(x)(其中0，|0，|0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为_思维启迪(1)根据周期确定，据f(0)和|确定；(2)由点(0,1)在图象上和|0，|)的最小正周期为，T，2.f(0)2sin ，即sin (|)，.(2)观察图
7、象可知：A2且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即sin .|0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令x0，x)确定.如图为yAsin(x)的图象的一段(1)求其解析式；(2)若将yAsin(x)的图象向左平移个单位长度后得yf(x)，求f(x)的对称轴方程解(1)由图象知A，以M为第一个零点，N为第二个零点列方程组解之得所求解析式为ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)，则x (kZ)，f(x)的对称轴方程为x (kZ)题型三函数yAsin(x)的应用例3已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|，xR)的图象的一部
8、分如下图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x6，时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值解(1)由图象知A2，T8，T8，.又图象经过点(1,0)，2sin()0.|，.f(x)2sin(x)(2)yf(x)f(x2)2sin(x)2sin(x)2sin(x)2cos x.x6，x，当x，即x时，yf(x)f(x2)取得最大值；当x，即x4时，yf(x)f(x2)取得最小值2.思维升华利用函数的图象确定解析式后，求出yf(x)f(x2)，然后化成一个角的一个三角函数形式，利用整体思想(将x视为一个整体)求函数最值(1)已知函数y2sin(x)为偶函数(00，0)的单
9、调区间的确定，基本思想是把x看做一个整体若0，且|0，函数ysin(x)2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是()A. B. C. D3答案C解析由函数向右平移个单位后与原图象重合，得是此函数周期的整数倍又0，k，k(kZ)，min.5已知函数f(x)2sin x在区间，上的最小值为2，则的取值范围是()A(，6，)B(，)C(，26，)D(，)答案D解析当0时，x，由题意知，即；当0)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_.答案解析依题意，x时，y有最小值，sin1，2k (kZ)8k (kZ)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以，即0)来表示，已知6月份的
10、月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.答案20.5解析由题意得y235cos，x10时，y23520.5.三、解答题9(2013天津)已知函数f(x)sin 6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)sin 2xcos cos 2xsin 3sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2x2sin.所以，f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数又f(0)2，f2，f2，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为2.10
11、已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的周期为.(1)求的值和函数f(x)的单调递增区间；(2)设ABC的三边a、b、c满足b2ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin(2x)，由f(x)的周期T，得2，f(x)sin(4x)，由2k4x2k(kZ)，得x(kZ)，即f(x)的单调递增区间是，(kZ)(2)由题意，得cos x，又0x，0x，4x，sin(4x)1，10，0,00且|0，)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)_.答案sin解析据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得
12、2，解得T4，故，即f(x)sin，又函数图象过点，故f(2)sin()sin ，又，解得，故f(x)sin.4已知函数f(x)sin(2x)sin(2x)cos 2xa(aR，a为常数)(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f(x)的图象向左平移m(m0)个单位后，得到函数g(x)的图象关于y轴对称，求实数m的最小值解(1)f(x)sin(2x)sin(2x)cos 2xasin 2xcos 2xa2sin(2x)a.f(x)的最小正周期为，当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数f(x)单调递增，故所求函数f(x)的单调增区间为k，k(kZ)(2)函数f(x)的
13、图象向左平移m(m0)个单位后得g(x)2sin2(xm)a要使g(x)的图象关于y轴对称，只需2mk(kZ)即m(kZ)，所以m的最小值为.5(2012湖南)已知函数f(x)Asin(x)(xR，0,0)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)ff的单调递增区间解(1)由题设图象知，周期T2，所以2.因为点在函数图象上，所以Asin0，即sin0.又因为0，所以.从而，即.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin 1，解得A2.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数g(x)的单调递增区间是，kZ.