1、2对函数的进一步认识21函数概念,学生用书P19)1函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB，或yf(x)，xA此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合f(x)|xA叫作函数的值域习惯上我们称y是x的函数2区间与无穷的概念(1)区间设a，b是两个实数，而且ab，规定如下表：定义名称符号几何表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb左闭右开区间a，b)x|aax|xax|x0，即x，所以f(x)的定义域为.答案：4若a，3a
2、1为一确定区间，则a的取值范围是_解析：根据区间的规定应有a3a1，即a.答案：1函数的本质两个非空数集间的一种确定的对应关系由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可2对函数相等的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数的对应关系不一定相同如yx与y3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数3对函数
3、符号f(x)的理解f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图像、表格等函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)、F(x)等表示函数的概念学生用书P19(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2 D3(2)下图中能表示函数关系的是_【解析】(1)中，因为在集合M中，当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时
4、，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是故选B.(2)由于中的2与1和3同时对应，故不是函数【答案】(1)B(2)(1)判断所给对应是否为函数的方法先观察两个数集A，B是否非空验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性(2)根据图形判断对应是否为函数的步骤任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数 1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是()AA1，0，1，B0，1，f：A中的数平方BA0，1，B1，0，1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DAR，B正实数
5、，f：A中的数取绝对值解析：选A.选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义只有选项A符合函数定义相等函数的判定学生用书P20下列各组中的两个函数是否表示同一函数？(1)f(x)|x|，(t)；(2)y，y；(3)y，y；(4)f(x)，g(x)x2；(5)f(x)，g(x)|x2|.【解】(1)在定义域R上，f(x)|x|和(t)的对应关系完全相同，只是表示形式不
6、同，所以它们表示同一函数(2)y的定义域为1，)，y的定义域为(，11，)，它们的定义域不同，故它们不表示同一函数(3)在定义域1，1上，y与y表示同一函数(4)f(x)x2(x2)，它与g(x)x2的对应关系相同，但定义域不同，所以它们不表示同一函数(5)f(x)|x2|，它与g(x)|x2|的对应关系和定义域分别相同，所以它们表示同一函数判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的(3)在化简解析式时，必须是等价变形 2.
7、下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)x1，g(x)1Bf(x)|x|，g(x)()2Cf(x)x，g(x)Df(x)2x，g(x)解析：选C.A、B中两函数的定义域不同，D中两函数的对应关系不同，故选C.求函数的定义域学生用书P20(1)函数y的定义域是()A(1，)B1，)C(1，1)(1，) D1，1)(1，)(2)若函数yf(x)的定义域是0，2，则函数g(x)的定义域是()A0，1 B0，1)C0，1)(1，4 D(0，1)【解析】(1)由得x1，1)(1，)(2)由得x0，1)【答案】(1)D(2)B(1)求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围当f(x
8、)是整式时，其定义域为R；当f(x)是分式时，其定义域是使分母不为0的实数的集合； 当f(x)是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合(2)已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数f(g(x)的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值集合一般地，函数f(g(x)的定义域为a，b，指的是xa，b，要求f(x)的定义域，就是求xa，b时g(x)的值域3.(1)已知函数f(x)的定义域为0，1，求f(x21)的定义域；(2)已知函数f(2x1)的定义域为0，1)，求f(13x)的定义域解：(1)因为函数f(x21)中的x21相当于函数f(x)中的x，所以0x211，所以1x2
9、0，所以x0，所以f(x21)的定义域为0(2)因为f(2x1)的定义域为0，1)，即0x1，所以12x11，所以f(x)的定义域为1，1)，即113x1，所以0x，所以f(13x)的定义域为.求函数值和值域学生用书P21已知f(x)(xR，x2)，g(x)x4(xR)(1)求f(1)，g(1)的值；(2)求fg(x)【解】(1)f(1)1，g(1)145.(2)fg(x)f(x4)(xR，且x2)1在本例条件下，求gf(1)的值及f(2x1)的表达式解：gf(1)g(1)145.f(2x1).2若将本例g(x)的定义域改为0，1，2，3，求g(x)的值域解：因为g(x)x4，x0，1，2，3
10、，所以g(0)4，g(1)5，g(2)6，g(3)7.所以g(x)的值域为4，5，6，7(1)求函数值的方法先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量取值代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意fg(x)与gf(x)的区别 (2)求函数值域的常用方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值
11、域4.(1)已知函数f(x)1，且f(a)3，则a_(2)求下列函数的值域：y2x1；yx24x6，x1，5)；y；yx.解：(1)因为f(x)1，所以f(a)1.又因为f(a)3，所以13，a16.故填16.(2)因为xR，所以2x1R，即函数的值域为R.配方：yx24x6(x2)22，因为x1，5)，如图所示所以所求函数的值域为2，11)借助反比例函数的特征求y3，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y3设u(x0)，则xu2(u0)，yu2u(u0)由u0，可知，所以y0.所以函数yx的值域为0，)易错警示求函数定义域时因考虑不全而致误函数f(x)的定义域为_【解析】要使函数
12、有意义，必须解得即00，得x，所以A，由k10，得k1，所以B(，1)，因为h(x)x22x4(x1)233，所以C3，)(2)A(RB)1，)，A(BC)3，)10已知函数f(x).(1)求f(2)f，f(3)f的值(2)求证：f(x)f是定值(3)求2f(1)f(2)ff(3)ff(2 016)ff(2 017)f的值解：(1)因为f(x)，所以f(2)f1，f(3)f1.(2)证明：f(x)f1，是定值(3)由(2)知f(x)f1，因为f(1)f(1)1，f(2)f1，f(3)f1，f(4)f1，f(2 017)f1，所以2f(1)f(2)ff(3)ff(2 016)ff(2 017)f
13、2 017.B能力提升11已知f(x)满足f(ab)f(a)f(b)，且f(2)p，f(3)q，那么f(72)等于()Apq B3p2qC2p3q Dp3q2解析：选B.因为f(ab)f(a)f(b)，所以f(9)f(3)f(3)2q，f(8)f(2)f(2)f(2)3p，所以f(72)f(89)f(8)f(9)3p2q.12已知函数f(x)1的定义域是a，b(a，bZ)，值域是0，1，则满足条件的整数数对(a，b)共有_个解析：由函数f(x)1的值域是0，1，所以011，即12，得0|x|2，因此满足条件的整数数对有(2，0)，(2，1)，(2，2)，(0，2)，(1，2)，共5个答案：51
14、3已知函数y的定义域为R，求实数k的值解：函数y的定义域即是使k2x23kx10的实数x的集合由函数的定义域为R，得方程k2x23kx10无解当k0时，函数y1，函数定义域为R，因此k0符合题意；当k0时，k2x23kx10无解，即9k24k25k20，不等式不成立所以实数k的值为0.14(选做题)已知集合A1，2，3，k，B4，7，a4，a23a，aN，kN，xA，yB，f：xy3x1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B.解：根据对应关系f，有：14；27；310；k3k1.若a410，则aN，不符合题意，舍去；若a23a10，则a2(a5不符合题意，舍去)故3k1a416，解得k5.综上：a2，k5，集合A1，2，3，5，B4，7，10，16