1、2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用补集运算求出，即可根据并集运算求出【详解】因为，所以，故故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题2.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的正切函数值，可知，根据充分必要条件的判断，即可求出结果.【详解】由题意可知，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查特殊角的
2、三角函数值和充分必要条件的判断，属于基础题.3.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（ ）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值.【详解】函数递增，且，所以函数存在唯一的零点，故，故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.4.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线双曲线（a0，b0）的渐近线方程与抛物线y22
3、px（p0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值【详解】双曲线（a0，b0），双曲线的渐近线方程是yx又抛物线y22px（p0）的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y，又由双曲线的离心率为2，所以2，则，A，B两点的纵坐标分别是y，即=,又AOB的面积为，且轴，得p2抛物线的焦点坐标为：（1，0）故选B【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方
4、图如图所示,其中成绩分组区间是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为,则的数学期望为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由频率分布直方图知，30.006100.01100.0541010x1，解得x0.018，成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.00610503人的可能取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012P E()012.选B.6.已知函数，给出下列四个
5、结论，其中正确的结论是（ ）A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】B【解析】【分析】先将化简为，再逐个选项判断即可【详解】A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；B选项，当时，则在区间上是减函数，结论正确；C选项，因为，则的图象不关于直线对称，结论错误；D选项，设，则，结论错误故选：B【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.7.函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，则函数单调递减，且，通过自
6、变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】构造函数，则函数单调递减，.故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ）A. 378B. 306C. 268D. 198【答案】D【解析】【分析】分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可.【详解】解：分两种情况讨论.若选两个国内
7、媒体一个国外媒体,有种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体,有种不同提问方式.所以共有种提问方式.故选：D【点睛】本题考查组合数公式的运用,排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序,则是排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.9.已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4【答案】C【解析】【详解】因为，由于圆的半径为，是圆的一条直径，所以，又，所以 ，所以，当时，故的最小值为，故选C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共
8、30分把答案填在答题卷上10.已知为实数，为虚数单位，若复数为纯虚数，则_【答案】【解析】【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案.【详解】解：为纯虚数，且，解得，所以故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.11.若的展开式中的系数为，则实数_【答案】2【解析】【分析】写出展开式通项公式，令的指数为4，求得的项数，得其系数，由系数为448可得【详解】由题意展开式通项公式为，令，系数为，解得故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上
9、底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内则该半球体的体积为_【答案】【解析】【分析】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积，【详解】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，矩形是正方体对角面，是中点，设正方体棱长为，则，由图知球半径为，半球体积为故答案为：【点睛】本题考查求半球的体积，解题关键是过正方体对角面作半球的截面，得出正方体与半球的关系13.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为_.【答案】或.【解析】【分析】由题可知切线的斜率，又，所以切点坐标为，函数的图象在处的切线方程为.圆心到切线的距离，则，求出实数的值.【详解
10、】因为，所以代入切点横坐标，可知切线的斜率.又，所以切点坐标为，所以函数图象在处的切线方程为.又因为圆，圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离.因为切线被圆截得弦长为，则，解得实数的值是或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.14.若,且,则此时_,的最小值为_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】(1)由对数运算和换底公式,求得的关系为即可.(2)根据化简,再利用基本不等式求最小值即可.【详解】(1)因为,所以,所以.(2)因为,故当且仅当,即时取等号.所以最小值为故答案为：2；【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用,根
11、据“1”的代换联系基本不等式求最值,综合性强,属于中档题15.已知函数，则_；若方程在区间，有三个不等实根，则实数的取值范围为_【答案】 (1). 81 (2). 【解析】【分析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围.详解】（1）由，则，答案：81（2）作出函数在区间上的图象，如图所示， 设，由图象可知要使方程在区间有个不等实根，则直线应位于与之间或直线的位置，所以实数a的取值范围为或.所以，或故答案为：【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，
12、共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在中，内角、的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求：（）边长；（）的值【答案】（1）； （2）（）；（ii）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小.（2）（）已知两边和夹角，用余弦定理求得边；（）由两角差的正弦公式求得的值.【详解】解：（1）由已知及正弦定理得， （2）（）因为，由余弦定理得，（）由，因为为锐角，所以，【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.17.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，（）求证：平
13、面；（）求平面与平面所成锐二面角的大小；（）求直线与平面所成角的余弦值【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】【分析】证明平面，以 为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，（）为平面的一个法向量，证明平面，只需证明;（）求出平面的一个法向量、平面一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（）求出平面一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的余弦值.【详解】（）证明：四边形为直角梯形，四边形为矩形，又平面平面，且平面平面，平面以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意,得以下点的坐标
14、：， 则，为平面的一个法向量又平面平面（）设平面的一个法向量为，则， 得 平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则因此，平面与平面所成锐二面角的大小为（）根据（）知平面一个法向量为 得，设直线与平面所成角为，则因此，直线与平面所成角的余弦值为【点睛】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大
15、小18.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别是、，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆上不在轴上的一个动点，过点作的平行线交椭圆与、两个不同的点，记，令，求的最大值【答案】（）；（）【解析】【分析】（1）由圆心到切线的距离求出，再由离心率可求得，从而得椭圆方程；（2）设，由平行线的等积转化，得，因此设直线方程为，代入椭圆方程整理后用韦达定理得，代入后利用基本不等式可得最大值【详解】解：（1）由题意可知：椭圆焦点在轴上，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，所以，又椭圆的离心率，解得：，椭圆的方程为：；（2）由（1）可知：椭圆的右焦点，设，设直线
16、，整理得：，由，当且仅当时，即时，取等号，的最大值为【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题中设交点坐标，设直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理，求弦长、求面积等这是直线与椭圆相交问题中的常用方法19.数列是等比数列，公比大于0，前项和，是等差数列，已知，（）求数列，的通项公式，；（）设的前项和为（）求；（）若，记，求的取值范围【答案】（）；（）（i）；（ii），【解析】【分析】（）由等比数列的定义求得公比，得通项公式，再由等差数列的定义求得和，得；（）（）由等比数列前项和公式求得，由分组求和法求得，（）求得后，用裂项相消法求得，结合函数性质可得取值范围【详解】解：（
17、）设数列的公比为，因为，可得，整理得，解得（舍或 ，所以数列通项公式为设数列的公差为，因为，即，解得，所以数列的通项公式为；（）（）由等比数列的前项和公式可得，所以；（）由（）可得，所以的前项和又在上是递增的，所以的取值范围为，【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和法与裂项相消法，解题过程只要按照题意计算即可，考查了学生的运算求解能力20.已知函数,且(1)若函数在处取得极值,试求函数的解析式及单调区间；(2)设,为的导函数,若存在,使成立,求的取值范围.【答案】(1)函数的解析式为,定义域为；单调增区间为,和,单调减区间为和；(2).【解析】【分析】(1)求导
18、后根据在处取得极值可得,再求解即可得,求导分析导函数的零点以及正负区间,进而得到原函数单调区间即可.(2)根据题意可得存在为的根,再化简可得,再求导分析的值域,进而求得的取值范围即可.【详解】解；(1)由题意,由函数在处取得极值,得,即,解得,则函数的解析式为,定义域为,又对恒成立,令则有,解得,且,即或；同理令可解得或；综上,函数的单调增区间为,和,单调减区间为和.(2)由题意,则,由条件存在,使成立得,对成立,又对成立,化简得,令,则问题转化为求在区间上的值域,求导得令,为二次函数,图象开口向上,则,又,则,在区间上单调递增,值域为,所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了根据极值点求参数值的问题,同时也考查了利用导数分析函数的单调性与值域的问题,需要根据题意将所求的问题转换为函数的单调性与值域等.属于难题.