1、2020-2021学年度白鹭洲中学高二12月月考数学试卷考试范围：必修2、选修2-1；考试时间：120分钟； 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.2请将正确答案填写在答题卡上.第I卷（选择题）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知命题 “”，则是 （ ）AB,CD2已知两条直线，则（ ）A或BCD3空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则与的距离为（ ）ABCD94设为三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为假命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则5若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ）A8B9C1
2、6D206已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）ABCD7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（ ）ABCD38“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9平行六面体中，为与的交点，若，则下列式子中与相等的是（）ABCD10下列命题中的真命题是（ ）A，B命题“”的否定C“直线与直线垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”D“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件11九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别
3、称“勾”“股”“弦”设点F是抛物线y2=2px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（ ）ABCD12四面体的体积为，且满足，则四面体中最长棱的长度为（ ）AB2CD3第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13“”是“”的_条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）14命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_.15棱长为3的正方体内有一个棱长为的正四面体（棱长全相等的三棱锥），若该四面体可以在正方体内任意转动，则的最大值为_16抛物线y=2x2
4、上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为_三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）设实数x满足，其中，命题实数x满足（1）若，且为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18（本小题满分12分）如图，三棱柱的棱长均相等，平面平面，分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.19（本小题满分12分）已知圆：，直线，点在直线上（1）若点的横坐标为2，求过点的圆的切线方程（2）已知圆的半径为2，求圆与圆的公共弦的最大值20（本小题满分12分）已知抛物线E：，圆C：若过抛物线E的焦点F的直线
5、l与圆C相切，求直线l方程；在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由21（本小题满分12分）如图1，四边形为直角梯形，为上一点，为的中点，且，现将梯形沿折叠(如图2)，使平面平面.（1）求证：平面平面.（2）能否在边上找到一点(端点除外)使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.22（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围参考答案1C【解析】依题意，根据全称
6、命题的否定是特称命题，需要否定结论这个概念.2C【解析】由于，所以，解得.3C【详解】由题意点关于平面的对称点为，4D【详解】若，则,是正确的，证明如下：如图，过点做，与分别交于，直线确定的平面与的交线交于，连，因为，所以，即同理，又，所以，即，所以四边形是矩形，所以若，则,是正确的.因为两平面垂直，则一个平面内垂直交线的直线必垂直另外一个平面；若，则,是正确的.因为一个平面内如果有一条直线垂直另外一个平面，则这两个平面垂直；若，则，是错误的. 为两个平面同时和第三个平面垂直，则这两个平面可能垂直，也可能不垂直.5A【详解】两圆方程相减得，此为相交弦所在直线方程，圆的标准方程是，圆心为，当且仅
7、当即时等号成立6B【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c3，则a2b2c29.由解得a2，b，则双曲线C的方程为.7B【详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示四棱锥.，.所以最长的棱长为.8A【详解】由对数函数的性质可得“”的充要条件是“”，当时，则是成立的，例如：，此时也成立，所以“”是“”的充分不必要条件故选A9A【详解】平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点， 10D【详解】对于选项A，当时，不成立，故A错误；对于选项B，命题“，”的否定是“”，当不成立，故B错误；对于选项C，当一直线斜率为0，另一直线斜率
8、不存在时，“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C错误；对于选项D，由方程表示双曲线等价于，即或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故D正确11B【详解】由题意可知，抛物线的图形如图：，可得，所以，是正三角形，并且是的中点，所以，则，所以抛物线方程为：12B解：因为，即，因为，当且仅当时，等号成立，这时，且面，所以，得，故最长棱的长为213充分不必要【详解】由题意，因为，则，解得，所以是“”的充分不必要条件，14【详解】，使是假命题，则，使是真命题，当，即，转化为，不是对任意的恒成立；当，使即恒成立，即 ，第二个式子化简得，解得或所以15【详解】若正四面体可以在正方体内任意转动，
9、则取最大值时，正方体的内切球恰好是该正四面体的外接球，可知此球的半径为正方体棱长的一半，即.设正四面体棱长为，其外接球球心为，中心为，连接，则平面，且三点共线，解得：.的最大值为.16【详解】由题意设，直线的方程为，联立方程，整理得，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，当且仅当，时取等，即，点的纵坐标的最小值为.另解提示：利用抛物线定义结合梯形中位线及三角形三边关系可快速解出。17解：实数x满足，其中，解得命题实数x满足，解得，即（1）时， 为真，可得p与q都为真命题， 则 解得所以实数x的取值范围是（2）p是q的必要不充分条件， 解得.实数a的取值范围是18证明：（1）取
10、的中点，连接，于是，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而面，面，所以直线平面；（2）连接， 四边形为菱形，为的中点，平面平面，且平面平面，平面平面，且平面平面，平面，又，就是二面角的平面角，设棱长为2，则，二面角的大小为.19解：（1）由题意知，点在上，且点的横坐标为2，可得，即，当的斜率不存在时，方程为，此时与圆相切，符合题意当的斜率存在时，直线方程为，即由与圆相切，可得，解答，所以即切线方程为或（2）连接，交与，为和中点，因为圆的半径为2，所以，在中，要使最大，则最小，即最小故，所以20解：由题意可得抛物线的焦点，当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方
11、程设为，即，由圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，解得，即直线方程为；可设直线方程为，联立抛物线方程可得，则，x轴上假设存在点使，即有，可得，即为，由，可得，即，即，符合题意；当直线为，由对称性可得也符合条件所以存在定点使得21解：（1）在直角梯形中，作于于，连接，则，则， 则，在直角中，可得，则，所以，故，且折叠后与位置关系不变.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面. （2）在中，由，为的中点，可得.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则 ，令，可得平面的法向量为，假设存在点使平面与平面所成角的余弦值为，且()，故，又，又由，设平面的法向量为，可得，令得，解得，因此存在点且为线段中点时使平面与平面所成角的余弦值为.22解：（1）当点的坐标为时，所以由对称性，所以，得将点代入椭圆方程 中，解得， 所以椭圆方程为.（2）当直线的斜率不存在时，此时 当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去整理得： 显然，设，则 故 因为，所以，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，所以，因为，所以，所以综上，