1、2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷第一部分 选择题1. 已知集合，那么集合等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由集合的并集运算求解即可.【详解】故选：D2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式，即可得出其定义域.【详解】要使得有意义，则，解得，即函数的定义域是故选：C3. 如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）A. B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】将点代入函数解析式，即可得出的值.【详解】由题意可知，解得或（舍）故选：B4. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达
2、式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角函数图象平移的规律即可得解.【详解】若将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象对应的函数表达式是.故选：A.5. 在平行四边形中，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接由向量加法平行四边形法则即可得结果.【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得，故选：A.6. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的定义计算【详解】由已知，所以故选：C7. 已知向量，且，那么实数的值是（ ）A. B. C
3、. D. 1【答案】A【解析】【分析】由向量平行的坐标表示计算【详解】由题意，解得故选：A8. 已知直线，且，那么实数的值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由直线垂直斜率乘积为解方程可得答案【详解】因为直线，且，所以，故选：A【点睛】方法点晴：斜率存在的两直线：垂直的充要条件是斜率乘积为，平行的充要条件是斜率相等且纵截距不等9. 如图，正方体的棱，所在的直线中，与直线成异面直线的是（ ）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】C【解析】【分析】由异面直线的概念，逐项判断即可得解.【详解】由题意，直线、均与直线相交，由异面直线的概念可得直线与直线成异面直线.故选
4、：C.10. 计算的结果是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】由指数和对数的运算性质求解即可.【详解】故选：A11. 在庆祝中华人民共和国成立周年之际，某学校为了解我和我的祖国我爱你，中国今天是你的生日等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ）A. 30B. 31C. 32D. 33【答案】D【解析】【分析】直接根据分层抽样的概念可得结果.【详解】由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为，故选
5、：D.12. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】由诱导公式求解即可.【详解】故选：D13. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色紫色两种颜色的毛线编织的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过列举法求出所有基本情况数及满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意，该同学选择的两种颜色的基本情况有：（白，黄），（白，紫），（黄，紫），共3种情况；其中满足要求的基本情况有1种；故所求概率.故选：B.14. 计算的结果是（ ）A. B.
6、C. D. 1【答案】B【解析】【分析】由余弦的差角公式，运算即可得解.【详解】由题意，.故选：B.15. 经过点，且斜率为2的直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由直线的点斜式方程可得结果.【详解】由于直线经过点，且斜率为2，故其直线方程为，化简得，故选：B.16. 已知向量，满足，与夹角为，那么等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义计算【详解】故选：C17. 如图，在三棱柱中，底面，那么三棱锥的体积是（ ）A. B. C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】椎体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，
7、底面为直角三角形，代入公式计算即可.【详解】底面为三棱锥的高为底面故选：A.18. 已知中，那么等于（ ）A. 1B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】由正弦定理运算即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以.故选：B.19. 函数的零点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性与零点存在定理确定零点个数【详解】由已知函数是定义域上的增函数，又，函数在上有一个零点，也是定义域内唯一个零点，故选：B20. 已知两条直线，和平面，那么下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据线面、线线间
8、的位置关系判断各选项【详解】若，由线面垂直的性质定理得，A正确；若，可能相交，可能平行，也可能异面，B错；若，则或，C错；若，则或，D错故选：A21. 如图，给出了偶函数的部分图象，那么等于（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】D【解析】【分析】由图可得的值，结合奇偶性可得结果.【详解】由图象可得，由于为偶函数，所以，故选：D.22. 圆圆心到直线的距离是（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由点到直线的距离公式计算【详解】已知圆圆心是，所求距离为故选：B23. 已知直线经过，两点，那么直线的倾斜角的大小是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】
9、【分析】首先根据直线上的两点计算斜率，再根据，求倾斜角.【详解】根据斜率公式可知，即，.故选：C24. 圆与圆的公共点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据圆心距和半径和，以及半径差比较大小，判断两圆的位置关系，求得两圆公共点的个数.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，圆心距，两圆相交，两圆的公共点的个数是2个.故选：C【点睛】方法点睛：判断两圆的位置关系如下：设两圆的圆心分别为，半径为和，当时，两圆相外离，没有交点，当时，两圆相外切，有一个交点，当时，两圆相交，有两个交点，当时，两圆相内切，有一个交点，当，此时两圆内含，没有交点.25. 已知函数
10、如果，那么实数的值是（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】对进行分类讨论，即可得出的值.【详解】当时，不满足条件当时，故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，关键是对进行分类讨论，属于基础题.26. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，则对称轴与已知区间的关系可得结论【详解】的对称轴是，由题意，故选：A27. 年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤工业扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效
11、果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的2013-2017年清洁空气行动计划，治理成效显著.上图是2000年至2018年可吸入颗粒物细颗粒物二氧化氮二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息，下列结论中正确的是（ ）A. 2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物年日均值逐年下降B. 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降C. 2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米D. 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年【答案】B【解析】【分析】观察折线图，确定数据的变化规律，判断各选项【详解】2014年空
12、气中可吸入颗粒物年日均值比2013年多，A错；2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降，B正确；2007年（含2007年）之前空气中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C错；2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D错故选：B第二部分 解答题28. 某同学解答一道三角函数题：“已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值.”该同学解答过程如下：解答：（1）因为，所以.所以.所以函数的最小正周期是.（2）因为，所以.所以当时，函数的最大值是1.所以当时，函数的最大值是2.写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识.(
13、写出5个即可)任意角的概念任意角的正弦余弦正切的定义弧度制的概念，的正弦余弦正切的诱导公式弧度与角度的互化函数，的图象三角函数的周期性正弦函数余弦函数在区间上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间上的性质两角差的余弦公式函数的实际意义两角差的正弦正切公式两角和的正弦余弦正切公式二倍角的正弦余弦正切公式参数，对函数图象变化的影响【答案】答案见解析【解析】【分析】结合该同学的解答过程，逐步分析即可得解.【详解】由题意，该同学在解答过程中用到的数学知识有：任意角的正弦余弦正切的定义；两角和的正弦余弦正切公式；三角函数的周期性；正弦函数余弦函数在区间上的性质；参数，对函数图象变化的影响.29.
14、阅读下面题目及其证明过程，并回答问题.如图，在三棱锥中，底面，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.解答：（1）证明：在中，因为，分别是，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）证明：在三棱锥中，因为底面，平面，所以_.因为，且，所以_.因为平面，所以_.由（1）知，所以.问题1：在（1）的证明过程中，证明的思路是先证_，再证_.问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.；平面；.【答案】问题1：直线与直线平行；直线与平面平行；问题2：；平面；.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判断定理，补全过程
15、；（2）利用线线，线面的垂直关系补全条件.【详解】（1）根据证明过程可知，利用的是直线与平面平行的判断定理，先证明直线与直线平行，再证明直线与平面平行；（2）根据证明过程可知，本题是证明线线垂直，利用线面垂直，证明线线垂直，底面，则，再根据线面垂直的判断定理可知，平面，再证明得到.故答案为：（1）直线与直线平行；直线与平面平行；（2）；平面；.【点睛】方法点睛：本题第二问考查了垂直的证明，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含：1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线
16、互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.30. 已知圆的圆心坐标为，且与轴相切，直线与圆交于，两点，求.某同学的解答过程如下：解答：因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，所以圆的半径是2.所以圆的方程是.因为直线与圆交于，两点，联立方程组解得或不妨设，所以（1）指出上述解答过程中错误之处；（2）写出正确的解答过程.【答案】（1）或不对；（2）答案见解析.【解析】【分析】写出圆的方程，与直线方程联立解方程组可得正确结论，题中解方程组出现错误详解】（1）或不对.（2）因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，所以圆的半径是2.所以圆的方程是.因为直线与圆交于，两点，联立方程组解得或不妨设，所以.【点睛】方法点睛：求直线
17、与圆相交弦长有两种方法：（1）代数法：求出直线与圆的两个交点坐标，由两点间距离公式计算；（2）几何法：求出圆心到直线的距离，利用垂径定理（勾股定理）计算弦长31. 2019年1月11日下午，探月工程传来捷报，嫦娥四号任务取得圆满成功，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了月球背面与地球的测控通信，在月球背面留下了人类探月的第一行足迹，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度(单位：千米/秒)满足，其中(单位：千米/秒)
18、表示它的发动机的喷射速度，(单位：吨)表示它装载的燃料质量，(单位：吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).（1）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度；(精确到0.1)（2）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由.(参考数据：无理数，)【答案】（1）3.3千米/秒；（2）该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒，理由见解析.【解析】【分析】（1）理解题意，直接代值，求；（2）由条件可知，代入后可得，再利用放缩法，说明.【详解】（1）依题意，所以.所以该单级火箭的最大速度约为3.3千米/秒.（2）依题意，所以.所以.因为，所以.所以.所以该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒.