1、北京市第一六一中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求 1. 已知集合，则集合可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】逐一验证选项即可得出结果.【详解】已知集合，.对于A选项，则，不合乎题意；对于B选项，则，不合乎题意；对于C选项，则，合乎题意；对于D选项，则，不合乎题意.故选：C.2. 若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为3，则等于（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】直接利用抛物线焦半径公式得到答案.【详解】根据题意：.故选：B.【点睛】本
2、题考查了抛物线焦半径公式，属于简单题.3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，故函数为非奇非偶函数.对于B选项，函数为奇函数，当时，为递增函数，根据奇函数图像关于原点对称可知函数在时也是增函数，且，故函数在上为递增函数，符合题意，B选项正确.对于C选项，函数的定义域为，函数在这个区间上没有单调性，C选项不符合题意.对于D选项，由于函数定义域是，且，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利
3、用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.4. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由得，即或可进行判断.【详解】由得，即或，所以能够得到，但是不一定得到，“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含5. 圆心在直线上且
4、与y轴相切于点的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 圆心为，满足，即圆心在直线，代入，即成立，正确；B. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；C. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；D. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误. 故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.6. 如图中共顶点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为()A. e1e2e3e4B. e2e1e3e4C. e1e2
5、e4e3D. e2e1e4R+r 两圆外离， （2）d=R+r 两圆外切； （3）d=R-r两圆内切，（4）dR-r两圆内含，（5） R-rdR+r 两圆相交9. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（ ）A. 472.8元B. 510.4元C. 522.8元D. 560.4元【答案】D【解析】【分析】求出两次购物的原价，根据优惠活
6、动计算应付款【详解】解：购物500元应付款元，设第二次购物的原价为，则，故，解得故两次购物原价为元若一次购物638元，则应付款元故选：【点睛】本题考查了函数解析式与函数值的计算，属于基础题10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（，且a，b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）A. 每场比赛的第一名得分a为4B. 甲至少有一场比赛获得第二名C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名D
7、. 丙至少有一场比赛获得第三名【答案】C【解析】【分析】根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决.【详解】甲最后得分16分，接下来以乙为主要研究对象，若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，又，此时不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，则甲的
8、得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意.综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名.故选：C.【点睛】本题考查了学生的逻辑推理能力和阅读理解能力，属于中档题.二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分11. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是，则_. 【答案】【解析】 由题意，根据复数的表示可知，所以12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距大于4，则双曲线的标准方程可以为_（写出一个即可）【答案】（满足或即可）.【解析】【分析】由题意结合双曲线的渐近线
9、可设双曲线的标准方程为，按照、讨论，结合双曲线的焦距分别求得的取值范围即可得解.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线的标准方程为，当时，该双曲线的焦距为即，解得；当时，该双曲线的焦距为即，解得；双曲线的标准方程为或，令可得双曲线的标准方程为.故答案为：（满足或即可）.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对于双曲线相关概念的熟练应用，属于基础题.13. 若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】用分离参数法得出不等式mx在x1，2上成立，根据函数f（x）=x在x1，2上的单调性，即可求出a的取值范围【详解】关于x的不等式x2+mx+2
10、0在区间1，2上有解，mx-2x2在x1，2上有解，即mx在x1，2上有解； 设函数f（x）=x，x1，2，f（x）=1=0的根x=f（x）在1，上是单调递增，在，2上是单调递减.x=，f（x）= f（）=-2f（1）=-3 ，f（）=-3且f（x）的值域为（-3，-2，要mx在x1，2上有解，则m3，故答案为：（3，+）【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象的单调性与性质的应用问题，是综合性题.14. 如图，已知正方形的边长为6，平行于轴，顶点和分别在函数，和的图像上，则实数的值为_【答案】【解析】由于顶点，和分别在函数，和()的图象上，设，由于平行于轴，则，有 ，解得
11、，又 ，则.【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上，且平行于轴，则轴，因此可以巧设出三点的坐标，利用两点纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为边长2，以及两点横坐标相等，纵坐标之差的绝对值为边长2，解答出本题.15. 已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线：；其中，是型曲线的有_【答案】【解析】对于，到直线的距离为，若直线上存在两点，使为为正三角形，则 ，以为圆心，以为半径的圆的方程为 ，联立 ，解得 或，所以是对于，化为 ，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接 点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为，所以不是对于，根据对称性，若上存在两点存在两点，使为正
12、三角形，则两点连线的斜率为1，设，所在直线方程为，由题意知到直线距离为直线被所截弦长的倍，列方程解得，所以曲线是T型线故答案为【点睛】本题是新定义问题，解题的关键是读懂题目的意思，并且能够把形的问题转化为代数方法解决，同时需要注意的是每条曲线的范围三、解答题：共6小题，共85分解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 已知是等比数列，数列满足，且是等差数列（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首项求出，然后求出，然后可得；（2）分别算出数列、的前项和即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意得， 解得 所以 设等差数列的公差为，由
13、题意得所以 从而 （2）由（1）知数列的前项和为；数列的前项和为 所以，数列的前项和为 17. 已知函数，且的最小正周期为.（）若，求的值；（）求函数的单调增区间.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由已知可得，且由，得，解三角方程并注意，取相应范围的根；（）将变形为，利用复合函数的单调性，只需，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间.试题解析：（）解：因为最小正周期为，所以，解得由，得，即，所以，.因为 ，所以.（）解：函数，由，解得所以函数的单调增区间为.考点：1、三角方程；2、两角和与差的三角函数；3、三角函数的单调性.18. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，
14、为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）写出的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（2）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望【答案】（1）,870人 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得的值；由分层抽样，求得初
15、中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（2）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出的取值及概率，写出分布列和数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图得，解得；由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.（2）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频
16、率为，样本人数为人. 同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人.故X的可能取值为1，2，3. 则，.123所以的分布列为：所以.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，分布列和期望求法，考查计算能力，属于中档题.19. 已知，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）当时，判断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）求出的导数，计算，求出，的值即可；（2）求出的导数，得到导函数的单调性，得到在递增，从而求出的最大值；（3）根据函数图象的大致形状可得与有两个交点.试题解析：（1），由已知可得，解之得
17、 （2）令则, 故当时，在单调递减；当时，在单调递增；所以， 故在单调递增，所以（3）当时，与有两个交点.20. 如图，已知椭圆: ，直线:交椭圆于两点过左焦点且斜率为（）的直线交椭圆于两点，线段的中点为（1）求椭圆的离心率及实轴长；（2）若点在直线上，试求的关系式；（3）在（2）的前提下，是否存在实数,使得的面积是面积的6倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；4；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由题意可知, ，可得答案；（2）设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求出P点坐标，代入直线方程化简可得答案； （3）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，的
18、面积是面积的6倍，BCP的面积是ACP面积的3倍，推得P为OA中点，联立直线方程和椭圆方程后结合根与系数关系求得P坐标，由P的坐标相等列式求得k的值.【详解】（1）由题意可知,所以，于是，实轴长2a=4 . （2）设，即，所以，于是，又因为点在直线上，所以.化简得关系式：. （3）若的面积是面积的6倍，则BCP的面积是ACP面积的3倍，又因为点C到直线AB的距离与点D到直线AB的距离相等，则|BP|=3|AP|，因为|OB|=|OA|，于是P为OA中点，设点A的坐标为，则，因为，解得.于是，解得，所以.【点睛】本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线方程联立，根据方
19、程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求具备较强的运算推理的能力，是难题.21. 已知数列的首项其中， 令集合.（1）若，写出集合中的所有的元素；（2）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；（3）求证：.【答案】（1）4，5，6，2，3，1；（2）,；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，利用递推关系依次求出a2，a3，a4，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前面项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；（2）设出数列中的一项为，若是3的倍数，则有；若是被3除余1，由递推关系得到，若被3除余2，
20、由递推关系得到说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到符合的形式，再保证满足2020即能求出答案；（3）分被3除余1，被3除余2，被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列an中必存在某一项3，然后分别由，进行推证，最终证得1A.【详解】（1）因为，集合的所有元素为：4，5，6，2，3，1.（2）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.所以，该7项的等比数列的公比为. 又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得因为，所以或.由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2020的各项只有：或,或,所以首项的所有可能取值的集合为,. （3）若被3除余1，则由已知可得,；若被3除余2，则由已知可得,；若被3除余0，则由已知可得,；所以，所以所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.因为，所以. 所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）若,结论得证.若,则；若,则,所以.【点睛】本题考查了数列的递推式，考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，考查了学生的抽象思维能力，属中高档题.