1、解答题分层综合练(二)中档解答题规范练(2)(建议用时:60分钟)1已知函数f(x)sin2xsin2(x),xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值2. 如图,在梯形ABCD中,ABCD,ADDCCBa,ABC60,平面ACFE平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AEa. (1)求证:BC平面ACFE;(2)求二面角BEFD的余弦值3(2015威海第一次统考)为了解某地高中生的身高情况,研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高统计成如图所示的茎叶图(单位:cm).1577899916124588991702345566818011247191若身高
2、在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是“高个子”的概率是多少?(2)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地所有高中生(人数很多)中选3人,用表示所选3人中“高个子”的人数,试写出的分布列,并求的数学期望4. 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC4,AB6,BC3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF2FB,CG2GB. (1)证明:PEFG;(2)求二面角PAD
3、C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值5(2015济南地区八校联考)已知函数f(x)m(x1)exx2(mR)(1)若m1,求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意的x0,不等式x2(m2)xf(x)恒成立,求m的取值范围6已知数列an的前n项和Snn(n1),且an是bn和1的等差中项(1)求数列an与bn的通项公式;(2)若cn(n2),c1b2,求i;(3)若f(n)(kN*),是否存在nN*,使f(n11)2f(n)?说明理由解答题分层综合练(二)中档解答题规范练(2)1解:(1)由已知,有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(
4、2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,且f,f,f,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为.2解:(1)证明:在梯形ABCD中,因为ABCD,ADDCCBa,ABC60,所以四边形ABCD是等腰梯形,且DCADAC30,DCB120,所以ACBDCBDCA90,所以ACBC,又平面ACFE平面ABCD,交线为AC,所以BC平面ACFE.(2)由(1)知AC,BC,CF两两垂直,以点C为原点,CA,CB,CF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0),A(a,0,0),D,F(0,0,a),E(a,0,a),则(a,0,0),(a,a,a)
5、,.设平面BEF的法向量n1(x,y,z),则即取y1,则n1(0,1,1)设平面EFD的法向量n2(p,q,r),则即取q2,则n2(0,2,1),则cosn1,n2,即二面角BEFD的余弦值为.3解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是,所以选中的“高个子”有122人,“非高个子”有183人用事件A表示“至少有1名高个子被选中”,则它的对立事件A表示“没有高个子被选中”,则P(A)11.因此,至少有1人是“高个子”的概率是.(2)依题意,抽取的30名学生中有12名是“高个子”,所以抽取1名学生是“高个子”的频率为,频率作为概率,那
6、么从所有高中生中抽取1名学生是“高个子”的概率是,又因为所取总体数量较多,抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验,于是,服从二项分布B,的取值为0,1,2,3.P(0)C,P(1)C,P(2)C,P(3)C.因此,的分布列如下:0123P所以E()0123.4解:法一:(1)证明:在PCD中,因为E为CD的中点,且PCPD,所以PECD.又因为平面PCD平面ABCD,且平面PCD平面ABCDCD,PE平面PCD,所以PE平面ABCD.又因为FG平面ABCD,所以PEFG.(2)由(1)知PE平面ABCD,且AD平面ABCD,所以PEAD.又因为四边形ABCD是长方形,所以ADCD.又因为PEC
7、D6,所以AD平面PCD,所以ADPD,所以PDE为二面角PADC的平面角因为ABCD6,所以DE3.在RtPED中,PE,所以tanPDE,所求二面角PADC的正切值为.(3)如图,连接AC,在ABC中,因为AF2FB,CG2GB,所以FGAC. 由异面直线所成角的定义,知直线PA与直线FG所成角的大小等于PAC的大小在RtPDA中,PA5,AC3,PC4,所以cosPAC,所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.法二:在PCD中,因为E为CD的中点,且PCPD,所以PECD.又因为平面PCD平面ABCD,且平面PCD平面ABCDCD,PE平面PCD,所以PE平面ABCD.取AB的中点H,连
8、接EH.因为四边形ABCD是长方形,所以EHCD.如图,以E为原点,EH,EC,EP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,因为PDPC4,AB6,BC3,AF2FB,CG2GB,所以E(0,0,0),P(0,0,),F(3,1,0),G(2,3,0),A(3,3,0),D(0,3,0),C(0,3,0)(1)证明:因为(0,0,),(1,2,0),且(0,0,)(1,2,0)0,所以,即EPFG.(2)因为PE平面ABCD,所以平面ABCD的法向量为(0,0,)设平面ADP的一个法向量为n(x1,y1,z1),(3,3,),(0,3,),由于即令z13,则x10,y1,所以n(0,3)
9、由图可知二面角PADC是锐角,设为,则cos |,所以sin ,tan .(3)因为(3,3,),(1,2,0),设直线AP与直线FG所成角为,则cos |.所以直线PA与FG所成角的余弦值为.5解:(1)m1时,f(x)(1x)exx2,则f(x)x(2ex),由f(x)0,得0xln 2,由f(x)0,得x0或xln 2,故函数的增区间为(0,ln 2),减区间为(,0),(ln 2,)(2)f(x)mxx2(m2)x,即mxexx2mx0.因为x0,所以mexxm0.令h(x)mexxm,则h(x)mex1,当m0时,h(x)在x0时为减函数,h(x)h(0)0.当0m1时,h(x)在x
10、0时为减函数,h(x)h(0)0.当m1时,h(x)在(,ln m)上为减函数,在(ln m,0)上为增函数,所以h(ln m)h(0)0,不合题意综上可知m1.6解:(1)因为Snn(n1),所以a1S10.当n2时,anSnSn1n1,又当n1时,上式也成立,所以ann1,由题意知bn2an1,故bn2n3.(2)因为cn(n2),c1b22231,所以i112.(3)当n2k1(kN*)时,f(n11)2n19,2f(n)2(n1),若f(n11)2f(n),则2n192n2,无解;当n2k(kN*)时,f(n11)n10,2f(n)2(2n3),若f(n11)2f(n),则n104n6,无整数解综上可知,不存在nN*,使f(n11)2f(n)