1、 A基础达标1已知直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是()A相交B相切C相离D相交或相切解析：选D.当直线l与y轴平行(重合)时，直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切2若抛物线yax21与直线yx相切，则a等于()A. B.C.D.1解析：选B.由消去y整理得ax2x10，由题意a0，(1)24a0.所以a.3已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B. CD解析：选D.由得或令B(1，
2、2)，A(4，4)，又F(1，0)，所以由两点间距离公式，得|BF|2，|AF|5，|AB|3，所以cosAFB.4已知A，B是抛物线x2y上任意两点(非原点)，当最小时，所在两条直线的斜率之积kOAkOB()A. BC. D解析：选B.由题意可设A(x1，x)，B(x2，x)，(x1，x)，(x2，x)，x1x2(x1x2)2，当且仅当x1x2时取得最小值此时kOAkOBx1x2.5直线ykx2与抛物线y28x只有一个公共点，则k的值为()A1B1或3C0D0或1解析：选D.联立，得(kx2)28x0.整理得k2x2(4k8)x40.当k0时，方程变为8x40，只有一解，这时直线与抛物线只有
3、一个公共点；当k0时，由0得(4k8)216k20，解得k1.综上，k0或1.6过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则A1FB1等于_解析：如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1，又AA1FA1FO，所以AFA1A1FO，同理BFB1B1FO，于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.答案：907已知抛物线x24y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在
4、的直线方程可写为ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，x1x24k，由ykx1可得y1y2kx11kx214k22，|AB|y1y2p4k24，故所截弦长222，当k0时弦长取最小值答案：28已知A(2，0)，B为抛物线y2x上的一点，则|AB|的最小值为_解析：设点B(x，y)，则xy20，所以|AB| .所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|min.答案：9已知抛物线y212x和点P(5，2)，直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点(1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求OAB的面积解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2
5、)，因为A、B在抛物线上，所以y12x1，y12x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2)因为P为线段AB的中点，所以x1x2，又y1y24，所以k3，所以直线l的方程为y23(x5)，即3xy130.经验证适合题意(2)由题意知l的方程为y21(x5)即yx3.由得x218x90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x218，x1x29.所以|AB|24.又点O到直线xy30的距离d，所以SOAB|AB|d2418.10在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)
6、求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解：(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点B能力提升11一动圆与直线x1相切且始终过点(1，0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C，那么曲线C上的一点到直线x1的距离与到直线xy40的距离和的最小值为()A
7、. B.C. D.解析：选B.由题意知动圆的圆心轨迹为以F(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，其方程为y24x，设抛物线上的一点为P，点P到直线x1的距离为d1，到直线xy40的距离为d2，由抛物线的定义知，d1|PF|，所以d1d2|PF|d2，|PF|d2的最小值为点F到直线xy40的距离.故选B.12设抛物线y24x的焦点为F，过点M(2，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，|BF|，则_.解析：因为|BF|，所以B的横坐标为，不妨设B的坐标为，所以AB的方程为y(x2)，代入y24x，得2x217x80，解得x或8，故点A的横坐标为8.故A到准线的距离为8
8、19.答案：13已知A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，满足0(O是原点)求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值；(2)直线AB过定点证明：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)因为0，所以OAOB，所以，所以x1x2y1y2.因为所以(y1y2)24p2(x1x2)由得y1y24p2且x1x24p2，所以结论成立(2)在(1)中，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yxy1x(x2p)所以直线AB过定点(2p，0)14(选做题)已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(2，4)，直线l：yx2交C于A、
9、B两点，与x轴相交于点F.(1)求抛物线方程及其准线方程；(2)已知点M(2，5)，直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1、k2、k3成等差数列解：(1)因为抛物线C：y22px(p0)经过点P(2，4)，所以422p2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x，所以抛物线准线方程是x2.(2)因为直线l：yx2与x轴相交于点F，所以F(2，0)因为M(2，5)，所以k2.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由方程组得3x220x120.法一：x1x2，x1x24.所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差数列法二：即A(6，4)、B，所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差数列