1、2.1.1函数(二)自主学习 学习目标1了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射2知道函数与映射的关系 自学导引1映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中_元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的_这时，称y是x在映射f作用下的_，记作_，x称作y的_2一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的_，在集合A中都_，这时我们说这两个集合的元素之间存在_，并把这个映射叫做从集合A到集合B的_3映射与函数由映射的定义可以看出，映射是_概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是_对点讲练知识点一映
2、射的概念例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A0,1,2,3，B1,2,3,4，对应法则f：“加1”；(2)A(0，)，BR，对应法则f：“求平方根”；(3)AN，BN，对应法则f：“3倍”；(4)AR，BR，对应法则f：“求绝对值”；(5)AR，BR，对应法则f：“求倒数”规律方法判断对应f：AB是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同变式迁
3、移1 下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？(1)AR，BR，f：xy；(2)A0,1,2,9，B0,1,4,9,64，f：ab(a1)2；(3)A0，)，BR，f：xy2x；(4)Ax|x是平面M内的矩形，Bx|x是平面M内的圆，f：作矩形的外接圆知识点二象与原象例2 已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(3x2y1,4x3y1)(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象规律方法解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则变式迁移2 已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是从A到B的映射，f：x(x1
4、，x21)，求A中元素在B中的象和B中元素在A中的原象知识点三映射的个数问题例3 已知Aa，b，c，B2,0,2，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)求满足条件的映射的个数规律方法求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论变式迁移3 若将本例中的条件改为“B1,0,1，f(a)f(b)f(c)”，这样的映射有几个？本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：1映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的2对应、映射、函数三个概念既有区
5、别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应3判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B中的每一个元素是否都有原象，则不作要求. 课时作业一、选择题1设f：AB是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是()AA中的每一个元素在B中必有象BB中每一个元素在A中必有原象CA中的一个元素在B中可以有多个象DA中不同元素的象必不同2设集合Ax|0x6，By|0y2，对于以下对应的关系中，不是A到B的映射的是()Af：xx Bf：xxCf：xx Df：xx3设集合A、B都是坐标平
6、面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f下，象(2,1)的原象是()A(3,1) B.C. D(1,3)4给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：A你们班的同学，B体重，f：每个同学对应自己的体重；M1,2,3,4，N2,4,6,8，f：n2m，nN，mM；MR，Nx|x0，f：yx4；A中国，日本，美国，英国，B北京，东京，华盛顿，伦敦，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应上述四个对应中是映射的有_，是函数的有_，是一一映射的有_()A3个2个1个 B3个3个2个C4个2个2个 D2个2个1个
7、5集合A1,2,3，B3,4，从A到B的映射f满足f(3)3，则这样的映射共有()A3个 B4个 C5个 D6个二、填空题6设AZ，Bx|x2n1，nZ，CR，且从A到B的映射是x2x1，从B到C的映射是y，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为_7设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：原象1234象3421映射g的对应法则如下：原象1234象4312则fg(1)的值为_8根据下列所给的对应关系，回答问题AN*，BZ，f：xy3x1，xA，yB；AN，BN*，f：xy|x1|，xA，yB；Ax|x为高一(2)班的同学，Bx|x为身高，f：每个同学对应自己的身高；A
8、R，BR，f：xy，xA，yB.上述四个对应关系中，是映射的是_，是函数的是_三、解答题9设f：AB是集合A到集合B的映射，其中A正实数，BR，f：xx22x1，求A中元素1的象和B中元素1的原象10已知A1,2,3，m，B4,7，n4，n23n，其中m，nN*.若xA，yB，有对应关系f：xypxq是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)4，f(2)7，试求p，q，m，n的值21.1函数(二) 答案自学导引1有一个且仅有一个映射象f(x)原象2任意一个元素有且只有一个原象一一对应关系一一映射3函数非空数集对点讲练例1解(1)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素
9、与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射，又B中的每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应，故f：AB也是一一映射(2)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射，故不是一一映射(3)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射，又B中某些元素1、2、4、5在A中没有原象与之对应，故f：AB不是一一映射(4)中集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故法则f是从A到B的映射，但对于B中某些元素在A中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f：AB不是
10、一一映射(5)当x0A，无意义，故法则f不是从A到B的映射变式迁移1解(1)当x1时，y的值不存在，不是映射，更不是函数(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，是映射，也是函数(3)当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，不是映射，更不是函数(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集例2 解(1)当x1，y2时，3x2y10,4x3y19.故A中元素(1,2)的象为(0,9)(2)令， 得，故B中元素(1,2)的原象是.变式迁移2解将x代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(1,3)由得x.所以在B中的象为(1,3)，在A中对应的原象为.例3 解(1)
11、当A中三个元素都对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有一个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为202,022，(2)02,0(2)2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(2)20,2(2)0.因此满足条件中的映射共有7个变式迁移3解由于f(a)、f(b)、f(c)的取值属于1,0,1，故f(a)f(b)f(c)时，f(a)，f(b)，f(c)取值的情况如表所示.f(a)f(b)f(c)111111111111100010000100010由表可知这样的映射有9个课时作业1A2.A3.B4.C5B由于要求f(3
12、)3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能6.解析A中元素1在B中象为2111，而1在C中象为.71解析g(1)4，fg(1)f(4)1.8解析对xA，在f：xy3x1作用下在B中都有唯一的象，因此能构成映射，又A、B均为数集，因而能构成函数；当x1时，y|x1|11|0B，即A中的元素1在B中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数当x0时，|x|x0，从而无意义，因而在x0时，A中元素在B中无象，所以不能构成映射9解当x1时，x22x1(1)22(1)10，所以1的象是0.当x22x11时，x0或x2.因为0A，所以1的原象是2.10解由f(1)4，f(2)7，列方程组：.故对应法则为f：xy3x1.由此判断出A中元素3的象是n4或n23n.若n410，因为nN*，不可能成立，所以n23n10，解得n2(舍去不满足要求的负值)又当集合A中的元素m的象是n4时，即3m116，解得m5.当集合A中的元素m的象是n23n时，即3m110，解得m3.由元素互异性知，舍去m3.故p3，q1，m5，n2.