1、天津市十二区县重点学校2020届高三数学下学期毕业班联考试题（二）（含解析）一、选择题（5分9）1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由对数函数的单调性，可得，进而可得充分性和必要性.【详解】解：，则“”是“” 必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数
2、单调性的应用，是基础题.3.某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是，.若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是（ ）A. 45B. 48C. 50D. 60【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出该班的学生数.【详解】解：根据频率分布直方图，得低于60分的频率是（0.0050.01）200.3，所以该班的学生人数为.故选：D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率频数/样本容量的应用问题，是基础题目4.已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为（ ）A. B. 1C. 2D. 【
3、答案】A【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据展开式中的常数项是112求得的值【详解】解：由于展开式中的通项公式为：，令，求得，可得它的展开式的常数项是，再根据展开式中的常数项是112，可得，求得，故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题5.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的实轴长是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】首先根据题意求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式即可得
4、到答案.【详解】抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为.则到渐近线的距离，因为，所以，双曲线的实轴长为.故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.6.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算特殊值，利用排除法可得是正确选项【详解】，排除A、D；，排除B；故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过特殊值结合排除法得出正确结论，有时可研究函数的性质如单调性、奇偶性、对称性等，函数值的正负及变化趋势等7.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
5、】【分析】由题意结合偶函数的性质可得，再由指数函数、对数函数的单调性可得，再利用函数单调性即可得解.【详解】函数是定义在R上的偶函数，即，即，又函数在上单调递增，.故选：A.【点睛】本题考查了利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于中档题.8.已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到，再根据函数在区间上有且只有两个零点，得到不等式，解不等式即可.【详解】因为，所以.又因为函数在区间上有且只有两个零点，所以，解得：.故选：B【点睛】本题主要考查的图象，同时考查了函数
6、的零点，属于中档题.9.已知函数，若关于的不等式的解集为，且，则实数t的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】易知，由表达式画出函数图像，再分类讨论与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解.【详解】易知，当时，的图象如图所示：当直线在图中的位置时，解得，因为为方程的两根，所以，而.则，即，解得，所以；当直线在图中的位置时，且，得；此时，.则，得，所以.综上所述：.故选：B【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于难题.二、填空题（5分6）10.已知复数，则复数z的共轭复数_【答案】【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算可得，再由共轭
7、复数的概念即可得解.【详解】由题意，所以复数z的共轭复数.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算及共轭复数的概念，考查了运算求解能力，属于基础题.11.过点，倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为_【答案】；【解析】分析】首先根据题意写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再利用计算弦长即可.【详解】由题知：直线，即，圆，圆心，半径.圆心到直线的距离.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆截得弦长问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题.12.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱
8、国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_【答案】；【解析】【分析】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，求出棱长为2的正四面体的体积即可得解.【详解】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，如图，三棱锥即为棱长为2的正四面体，取中点，连接，在上取一点，使，连接，易知，点为的中心，为该三棱锥的高，所以，所以，所以该六面体的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查了正四面体的几何特征的应用及体积的求解，考查了空间思维能力与转化化归思想，属于中档题.13.某校在高一年级一班至六班进行了
9、“社团活动”满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：班号一班二班三班四班五班六班频数451181012满意人数328566现从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为_；若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取3名学生，记其中满意的人数为X，则随机变量X的数学期望是_【答案】 (1). (2). ；【解析】【分析】第一空：利用古典概型的概率公式计算即可；第二空：X的所有可能取值为0，1，2，3，求出分布列，进而通过数学期望计算公式即可得出.【详解】解：第一
10、空：从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为；第二空：在高一年级全体学生中随机抽取1名学生，其满意概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，分布列如下：0123.故答案为：；.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14.已知，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用已知条件，将所求的式子化为，再应用基本不等式，即可求解.【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，拼凑出积为定值是解题的关键，属于中档题.15.如图，在中，D，E分别是直线，上的点，且，
11、则_【答案】【解析】【分析】变换，展开利用向量的运算法则计算得到，得到答案.【详解】，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了求向量夹角，意在考查学生的计算能力和转化能力，表示是解题的关键.三、解答题16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（1）求的值（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理得到，代入余弦定理得到，再利用同角三角函数关系即可得到的值.（2）利用三角恒等变换公式计算即可得到答案.【详解】（1）在中，所以 由余弦定理可得又因为，所以 （2）， 所以.【点睛】本题第一问考查正弦定理角化边公式和余弦定理，第二问考查三角恒等变换公式，同时考查
12、了学生的计算能力，属于中档题.17.如图，在四棱锥中，平面，且，N为的中点.（1）求证：平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值（3）在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）首先过作，垂足为，以为坐标原点，分別以，为轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，根据即可证明平面.（2）求出平面的法向量为，再代入二面角公式计算即可得到答案.（3）首先假设线段上存在一点，设，得到，根据直线与平面所成角正弦值为，求得，所以存在，且.【详解】（1）过作，垂足为，则，以为坐标原点，分別以，
13、为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面的一个法向量为，则，令，解得：.因为，所以又平面，所以平面.（2）设平面的一个法向量为，因为，所以，令，解得.所以.即平面与平面所成锐二面角的余弦值.（3）假设线段上存在一点，设，.因为，所以则因为平面的一个法向量所以， 整理得：，所以，因为，所以.所以存在，且.【点睛】本题主要考查利用立体几何向量法证明线面平行和二面角的求法，同时考查了线面角的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率是，短轴长为2，若点A，B分别是椭圆E的左右顶点，动点，直线交椭圆E于P点.（1）求椭圆E的方程（2）求证：是定值；设的面
14、积为，四边形的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）见解析；1【解析】【分析】（1）由已知可得的值，再由离心率得到关系，转化为关系，即可求出椭圆方程；（2）由（1）得，求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得出坐标，即可证明结论；，将表示为关于的函数，进而得出关于的函数，整理利用的范围，即可求解.【详解】（1）短轴长为2，椭圆方程为 （2） 法一： 设： 当时等号成立，的最大值为1 法二：设： 其中，由于，所以直线的斜率的最大值为1，当且仅当等号成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，以及定值最值问题，考查计算求解能力，属于中档题.19.已知等差
15、数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，且.（1）求数列，通项公式.（2）设，数列的前n项和为，求.（3）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意结合等差数列的前n项和公式、通项公式即可求得；由与间的关系可得；（2）由题意，由裂项相消法即可得解；（3）由题意将分为与的两部分，分别利用错位相减法、裂项相消法求出其前n项和、，即可得解.【详解】（1）数列为等差数列，为其前n项和，；对数列，当时，当时，当时也满足上式，；（2）由题意，；（3）由题意，而设数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，得，当n为偶数时，；当n为奇数时，；由以上可知 所以数列的前n项和.【
16、点睛】本题考查了利用基本量运算求等差数列的通项及利用与的关系求数列通项，考查了裂项相消法、错位相减法及分组求和法求数列前n项和的应用，属于中档题.20.设函数的定义域为，其中，.（1）若，判断的单调性；（2）当，设函数在区间上恰有一个零点，求正数a的取值范围；（3）当，时，证明：对于，有.【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）由题意求导后，按照、分类，解出、的解集即可得解；（2）对求导，令，求导后可得在上单调递减，按照、，结合函数单调性、零点存在性定理即可得解；（3）令，求导后可得对，恒有，依次取，求和即可得证.【详解】（1）时，则，当时，在上单调递增；当时，令，（舍）
17、，令，函数的单调增区间为，单调减区间为；综上，当时，在上单调递增；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）由题意，则，令，在上单调递减， 若，则即，即在上单调递减，不合题意；若，则，根椐零点存在性定理，使得，即，使得， 当时，上单调递增，且，函数无零点；当时， ，在上单调递减，其中，令，则，在上单调递增，在上单调递减，根据零点存在性定理可得时有且仅有一个零点，符合题意；综上：；（3）当时，令，则当时，恒有，即在上单调递减，对恒成立.又，故，即对，恒有，在此不等式中依次取，得：， ， 将以上不等式相加得：，即.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，合理构造新函数是解题关键，属于难题.