1、考点25 数列求和及综合应用解答题1. (2014湖北高考文科T19)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列an的通项.(2)根据an的通项公式表示出an的前n项和公式Sn,令Sn60n+800,解此不等式.【解析】(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,
2、解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n.当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.2. （2014湖北高考理科18）已知等差数列满足： 2，且 成等比数列.（1） 求数列的通项公式.（2） 记 为数列的前 项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；
3、若不存在，说明理由.【解题指南】（）由，成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列的通项；（）根据的通项公式表示出的前n项和公式,令，解此不等式。 【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有化简得，解得或当时，当时，从而得数列的通项公式为或。（2）当时，。显然此时不存在正整数，使得成立。当时，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41。综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41。3. （2014湖南高考理科20）（本小题满分13分）已知数列满足（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的
4、通项公式【解题提示】（1）由是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用成等差数列，得到关于p的方程即可；（2） 是递增数列，是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。【解析】（1）因为是递增数列，所以，又，因为成等差数列，所以，解得，当，与是递增数列矛盾，所以。（2）因为是递增数列，所以，于是由于，所以由得，所以因为是递减数列，所以同理可得，由得，所以，所以数列的通项公式为4. （2014湖南高考文科17）（本小题满分12分） 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【解题提示】（1）利用的关系求解，（2）分组求和。【解析】（1）当时，；当，故数列的通
5、项公式为（2）由（1）知，记数列的前2n项和为，则记,，则，故数列的前2n项和5.(2014广东高考文科T19)(14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*.(1)求a1的值.(2)求数列an的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有+0,所以Sn-3,只有Sn=n2+n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n(nN*).(3)因为=，=-,所以+=-.故对一切正整数n,有+1,都有mN*,使得a1,an,am成等比数列.【解题指南】(1)利用a
6、n=Sn-Sn-1(n2)解决.(2)a1,an,am成等比数列,转化为=a1am.【解析】(1)当n=1时a1=S1=1;当n2时an=Sn-Sn-1=-=3n-2,对n=1也满足,所以的通项公式为an=3n-2;(2)证明:由(1)得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列,需要=a1am,所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2N*,所以对任意n1,都有mN*使得=a1am成立,即a1,an,am成等比数列.9 （2014上海高考文科23）已知数列满足.（2） 若，求的取值范围；（3） 若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应
7、的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.【解题指南】【解析】10. （2014山东高考理科19）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和.【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列的通项公式.(2)利用裂项求和法求解，注意本题是将数列裂成两项之和，然后再分奇数和偶数来求数列的前n项和.【解析】（I）解得（II）11. （2014山东高考文科19）在等差数列中，已知，是与等比中项. （）求数列的通项公式； （）设记，求.【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列的通项公
8、式.(2)分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.【解析】： （）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项且，即， 解得： （）由 （）知：，当n为偶数时： 当n为奇数时： 综上：12.(2014江西高考理科T17)已知首项都是1的两个数列anbn(bn0,nN*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求数列cn的通项公式.(2)若bn=3n+1,求数列an的前n项和Sn.【解题指南】(1)将等式两端同时除以bnbn+1即可求解.(2)由(1)及bn=3n+1可得数列an的通项公式,分析通项公式的特征利用错位相减法求Sn.【解析】(1)因为bn0,所以由anbn+1-
9、an+1bn+2bn+1bn=0,得-+2=0,即-=2,所以cn+1-cn=2,所以cn是以c1=1为首项,2为公差的等差数列,所以cn=1+(n-1)2=2n-1.(2)因为bn=3n+1,cn=2n-1.所以an=cnbn=(2n-1)3n+1.所以Sn=132+333+534+(2n-1)3n+1,3Sn=133+334+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2,作差得:-2Sn=32+2(33+34+3n+1)-(2n-1)3n+2=9+2-(2n-1)3n+2=-18+2(n-1)3n+2,所以Sn=9+(n-1)3n+2.13.（2014安徽高考文科18）数列满足（1） 证明：
10、数列是等差数列；（2） 设，求数列的前项和【解题提示】 利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。【解析】(1)由已知可得，所以是以1为首项，1 为公差的等差数列。（2）由（1）得，所以,从而， 将以上两式联立可得=所以14. (2014新课标全国卷高考理科数学T17)(本小题满分12分)已知数列满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求的通项公式.(2)证明: +1时, =.所以+1+=.所以, +.nN*.15. （2014四川高考理科19）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，
11、求数列的前 项和.【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式和前n项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力.【解析】（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以，因为点在函数的图象上，所以，所以，又，所以（2）由函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而， 所以故.16. （2014四川高考文科19）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）（1）证明：数列为等比数列； （2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式和前n项和、
12、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力.【解析】（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，当时，所以，数列是首项为，公比为的等比数列（2）由函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故，所以，从而，于是 ，所以.所以.17. （2014重庆高考文科16）已知 是首项为 公差为 的等差数列， 表示的前 项和.(1)求 及(2)设是首项为 的等比数列，公比 满足 求的通项公式及其前项和 【解题提示】 直接根据等差等比数列的性质求解通项公式及前 项和.【解析】(1)因为 是首项为 公差为 的等差数列，所以 故(2)由(1)得因为即所以从而 又因为 是公比为 的等比数列，所以从而的前 项和