1、第3讲分类讨论思想1分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求
2、引起的分类讨论如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不
3、无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1(1)(2014浙江)设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_(2)在等比数列an中，已知a3，S3，则a1_.答案(1)a(2)或6解析(1)f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a)2时，得f(a)2，而满足f(a)2时，得a.(2)当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立；当q1时，由题意，得所以由，得3，即2q2q10，
4、所以q或q1(舍去)当q时，a16.综上可知，a1或a16.思维升华(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(1)已知函数f(x)满足f(a)3，则f(a5)的值为()Alog23 B. C. D1(2)已知数列an的前n项和Snpn1(p是常数)，则数列an是()A等差数列B等比数列C等差数列或等比数列D以上都不对答案(1)C(2)D解析(1)分两种情况分析，或者，无解，由得，a7，所以f(a5
5、)2231，故选C.(2)Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当p1且p0时，an是等比数列；当p1时，an是等差数列；当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列热点二由图形位置或形状引起的讨论例2(1)不等式组表示的平面区域内有_个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线T的离心率为_答案(1)20(2)或解析(1)画出不等式组表示的平面区域(如图)结合图中的可行域可知x，2，y2,5由图形及不等式组，知当x1时，1y2，有2个整点
6、；当x0时，0y3，有4个整点；当x1时，1y4，有6个整点；当x2时，2y5，有8个整点；所以平面区域内的整点共有246820(个)(2)不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.所以圆锥曲线T的离心率为或.思维升华求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由
7、斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化(1)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A B.C0 D或0(2)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为_答案(1)D(2)2或解析(1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1与直线x0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形由图形可知斜率k的值为0或.(2)若PF2F190，则|PF1|2|
8、PF2|2|F1F2|2，|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，.若F2PF190，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2，2.综上所述，2或.热点三由参数引起的分类讨论例3(2014四川改编)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0
9、,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a1)，所以f(x).当a0时，因为x1，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递增当a0时，由得1x1a，故f(x)在(1a，)上单调递增综上，当a0时，函数f(
10、x)在(1，)上单调递增；当a1和0a1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论(8)排列、组合、概率中的分类计数问题(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等真题感悟1(2014课标全国)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于()A5 B.C2 D1答案B解析SABCABBCsin B1sin B
11、，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.2(2013安徽)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再
12、增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的充要条件3(2014广东)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90C120 D130答案D解析在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情况有“一个1(或1)，四个0，有C2种；两个1(或1)，三个0，有C
13、2种；一个1，一个1，三个0，有A种；两个1(或1)，一个1(或1)，两个0，有CC2种；三个1(或1)，两个0，有C2种故共有C2C2ACC2C2130(种)，故选D.押题精练1已知函数f(x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A(0，) B2,0)C1,0) D1，)答案C解析若a0，则f(x)在定义域的两个区间内都是常函数，不具备单调性；若a0，函数f(x)在两段上都是单调递增的，要使函数在R上单调递增，只要(a2)e01，即a1，与a0矛盾，此时无解若2a0，则函数在定义域的两段上都是单调递减的要使函数在R上单调递减，只要a21即a1，即1a0)的焦点为F，P为其上的一点，O为
14、坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为()A2 B3 C4 D6答案C解析当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|p，|FP|，若p，则有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形当x2p(p0)时，与点P在抛物线上矛盾所以符合要求的点P一共有4个46位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了13次交换
15、，则收到4份纪念品的同学人数为()A1或3 B1或4C2或3 D2或4答案D解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如ab和ac之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人(2)由4人构成的2次交换，如ab和ce之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人故选D.5已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的
16、公差为d，由已知，得解得故an3(n1)4n.(2)由(1)可得bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，将上式两边同乘q，得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减，得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，则Sn123n.综上，Sn6已知函数f(x)(a1)ln xax21，试讨论函数f(x)的单调性解由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减当1a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减