1、第14课时 函数的单调性（一）【学习目标】1理解增函数减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；2培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力【课前导学】【复习回顾】1.函数有哪几个要素？2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4.区间的表示方法.前面我们学习了函数的概念表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）【课堂活动】一建构数学：1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题：问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加问题2：怎样用数学语言表示呢？设x1x20，+，得
2、y1=f(x1), y2=f(x2).当x1x2时，f(x1) f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)结论：这时，说y1= x2在0，+上是增函数（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1x2,当x1x2时都有f(x1) f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)如果函数y=f(x
3、)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的说明：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念（4）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设x1x2给定区间，且x1x2 （取值）；b.计算f（x1）f（x2）至最简（作差）；b.判断上述差的符号（断号）；d.下结论(若差0，则为增函数；若差0，则为减函数) 二应用数学：例1 画出下列函数的图像，并写出单调区间 (课本P3
4、4例1，与学生一块看，一起分析作答)（1）y= - x+2(2) y= (x0)【解后反思】要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明下面举例说明例2 求证：函数f(x)= x3+1在区间(,+ )上是单调减函数证明：设x1，x2R且x1x1，x22+x1x2+x120，所以f(x1) f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(,+ )上递减例3 证明函数f（x）在（0，）上是减函数.证明：设任意x1x2（0，）且x1x2，则f（x1）f（x2），由x1，x2（0，）得x1x20，又x1x2 得x2x1
5、0，f（x1）f（x2）0 即f（x1）f（x2），f（x）在（0，）上是减函数【解后反思】通过观察图象对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.【拓展】函数在其定义域上是减函数吗？答案：该命题不对；例如时， ，显然且，所以函数在其定义域上是减函数是不成立的【说明】如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集例4 (1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为 解：（）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即
6、；（）由题意可以知道即；（）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即三理解数学：1证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数证明：设任意x1x2R，且x1x2.则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).由x1x2得x1-x20.f(x1)- f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)=3x+2 在R上是增函数2求证：在区间上是减函数证明：设，则，即故在区间上是减函数3求证函数f(x)=+在区间（3，4）上单调增证明：任取3x1x24，则 f(x2)-f(x1)= (-)+(-)=+=(x2-x1)()，3x1x24 ,，+，f(x2)f(x1), f(x)=+在区间（3，4）上单调增【课后提升】1函数y=|x+1|的单调递减区间为 1，+) ，单调递减区间 (，1 2求函数f(x)=x+(k0)在（0，+）上的单调性解：任取0x10,x12x1x2x22, x1x2-kx22-k0，即x2时，f(x2)-f(x1)0时f(x)1,求证：f(x)单调增【思路分析】在单调性定义中，若设x1=x,x2=x+h,h0,有变形定义：对于h0,若f(x+h)f(x),则f(x)单调增；若f(x+h)0,f(x+h)=f(x)+f(h)-1f(x),所以f(x)单调增