1、1 号卷10A联盟 2021-2022 学年高二上学期期中联考数学试题2021.11一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在空间直角坐标系下，点(2,6,1)M 关于 y 轴对称的点的坐标为()A(2,6,1)B(2,6,1)C(2,6,1)D(2,6,1)2若椭圆2214xyp 的一个焦点为(0,1)，则 p 的值为()A5B4C3 D23将直线330 xy绕着原点逆时针旋转90，得到新直线的斜率是()A33B33C22D224已知实数,x y 满足2284160 xyxy，则 x 的最大值是()A3B2C 1
2、D 25已知直线:20l xmy，若圆22:6430C xyxy上存在两点,P Q 关于直线l 对称，则 m 的值为()A 52B 32C 12D56已知直线 1:(1)210laxy 与直线 2:310lxay 平行，则 a ()A3 或 2B 2C3D27在四棱锥 SABCD中，(4,1,0),(0,3,0),(3,1,5)ABADAS，则这个四棱锥的高 h 为()A2B3C4D58过圆229xy上一点 P 作圆222:(0)O xyrr的两条切线，切点分别为,A B，若2APB，则 r ()A1B22C2D 3 229已知直线21:3sin20lxy，若 12ll，则 2l 的倾斜角的取
3、值范围是()A,3 2 B 0,6C,3 2 D 0,610在正方体1111ABCDABC D中，棱11,BC A B 的中点分别为,E F，则直线EF 与1AB 所成角的正弦值为()A36B336C33D6311已知圆22222:1mO xym，直线:20(0)l mxym与圆O 没有公共点，斜率为 k 的直线l 与直线l 垂直，则2mk的取值范围是()A(1,3)B2 2,3)C(1,2 2D2 2,)12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过右焦点 F 且倾斜角为4 的直线与椭圆C 形成的弦长为 85，且椭圆C 上存在 4 个点,M N P Q 构成矩形，则矩形 MN
4、PQ 面积的最大值为()A4B 4 2C8D16二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在题中的横线上.）13设空间向量(3,1,),(2,5)xx ab，且ab，则 x _14设圆221:244Cxyxy，圆222:680Cxyxy，则1C，2C 有_条公切线15设12,F F 是椭圆22:1167xyC 的左、右焦点，点 P 在C 上，O 是坐标原点，且|3OP，则12PFF的面积为_16在如图所示的试验装置中，四边形框架 ABCD 为正方形，ABEF 为矩形，且33BEAB，且它们所在的平面互相垂直，N 为对角线 BF 上的一个定点，且 2FNBN，活动
5、弹子 M 在正方形对角线 AC 上移动，当 ME MN取最小值时，活动弹子 M 与点 B之间的距离为_三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（本小题满分 10 分）已知点(3,1)P()若直线l 与直线3,7yx分别交于点,A B，且线段 AB 的中点为 P，求直线l 的斜率；()若直线l 过点 P 且原点到该直线的距离为 3，求直线l 的方程18（本小题满分 12 法）已知定点(4,0),(1,0)MN，动点 P 满足6|MN MPPN，设点 P 的轨迹为 E()求轨迹 E 的方程；()若点,Q R 分别是圆22142xy和轨迹 E 上
6、的点，求,Q R 两点间的最大距离19（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 SABC中，SC 平面3,3,22,2ABC SCACBC CEEBAC，CDED()求证:DE 平面 SCD；()求 SB 与平面 SCD 所成角的正弦值20（本小题满分 12 分）设圆 C 的圆心为(m，0)，半径为 r，圆 C 过点(2，0)，直线 l：xy20 交圆 C 于 M，N 两点，且|2 2MN()求圆 C 的方程；()已知4m，过点(1,0)的直线与圆C 相交于1122,P x yQ xy两点，其中121,0 xx y若存在(,0)A t，使得 x 轴为PAQ的平分线，求正数 t 的值21（本小题满
7、分 12 分）如图，在几何体111ABCA BC中，底面 ABC是边长为 2 的正三角形，1AA 平面 ABC，111/AABBCC，且1116236,AABBCCE是 AB 的中点()求证:CE/平面111A BC；()求二面角111BACA的余弦值22（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，左，右焦点分别为12,F F，过2F 的直线l 与C 交于,A B 两点，若l 与 x 轴垂直时，|2AB()求椭圆C 的标准方程；()若点 P 在椭圆C 上，且OPAB(O 为坐标原点)，求2|ABOP的取值范围.1 号卷10A联盟 2021-2022 学年高二
8、上学期期中联考数学参考答案及解析2021.11一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在空间直角坐标系下，点(2,6,1)M 关于 y 轴对称的点的坐标为()A(2,6,1)B(2,6,1)C(2,6,1)D(2,6,1)答案：B【解析】由题意得，点(2,6,1)M 关于 y 轴的对称点的坐标为(2,6,1)故选 B 2若椭圆2214xyp 的一个焦点为(0,1)，则 p 的值为()A5B4C3D2答案：C【解析】由题意得，41p，解得3p 故选C 3将直线330 xy绕着原点逆时针旋转90，得到新直线的斜率是()
9、A33B33C22D22答案：A【解析】原直线的倾斜角为 60，旋转后倾斜角为150,新直线的斜率为33故选 A 4已知实数,x y 满足2284160 xyxy，则 x 的最大值是()A3B2C 1D 2答案：D【解析】方程变形为22(4)(2)4xy，则圆心坐标为(4,2)，半径2r，则 x 的最大值是 422 故选 D5已知直线:20l xmy，若圆22:6430C xyxy上存在两点,P Q 关于直线l 对称，则 m 的值为()A 52B 32C 12D5答案：A【解析】圆22:6440,C xyxy圆C 的圆心坐标为(3,2)，又圆22:6440C xyxy上存在两点,P Q 关于直
10、线l 对称，直线l 经过圆心，3220m，解得52m 故选 A6已知直线 1:(1)210laxy 与直线 2:310lxay 平行，则 a ()A3 或 2B 2C3D2答案：C【解析】由题意得，(1)2 30a a ，即260aa，解得3a 或2a ，当3a 时，两直线方程分别为 2210,3310 xyxy ，此时两直线平行；当2a 时，两直线方程分别为 3210,3210 xyxy ，此时两直线重合，舍去综上，3a 故选C 7在四棱锥 SABCD中，(4,1,0),(0,3,0),(3,1,5)ABADAS，则这个四棱锥的高 h 为()A2B3C4D5答案：D【解析】设平面 ABCD的
11、法向量为(,)x y zn，则00ABADnn，即 4030 xyy，00 xy，取1z ，则(0,0,1),n这个四棱锥的高|55|1AShnn故选 D 8过圆229xy上一点 P 作圆222:(0)O xyrr的两条切线，切点分别为,A B，若2APB，则r()A1B22C2D 3 22答案：D 由题意得，03r，如图，四边形OAPB 是正方形，|3OP，则3 22r 故选 D 9已知直线21:3sin20lxy，若 12ll，则 2l 的倾斜角的取值范围是()A,3 2 B 0,6C,3 2 D 0,6答案：D【解析】当2sin0 时，2112122233sin,1,sin3kllkkk
12、 2230sin1,03k 剟设直线 2l 的倾斜角为,0,)，则30 tan,036 剟；当2sin0 时，直线 1l 的斜率不存在，倾斜角为122,2lll的倾斜角为 0综上，0,6 故选 D10在正方体1111ABCDABC D中，棱11,BC A B 的中点分别为,E F，则直线 EF 与1AB 所成角的正弦值为()A36B336C33D63答案：B【解析】设正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，以 D 为坐标原点，1,DA DC DD 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(2,0,0)A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,1,2)
13、BEF，则1(0,2,2)AB(1,1,2)EF，设 直 线EF与1AB所 成 角 为，则11233 3c o s,s i n6662 2|EF ABEFAB故选 B11已知圆22222:1mO xym，直线:20(0)l mxym与圆O 没有公共点，斜率为 k 的直线l 与直线l 垂直，则2mk的取值范围是()A(1,3)B2 2,3)C(1,2 2D2 2,)答案：B【解析】由题意得，22201mm，即1,m 直线 l 与圆 O 没有公共点，22|2|2211mmm，解得2,12.mm 直线l与直线l 垂直，12,22 2kmkmmm，当且仅当2mm，即2m 时取等号，又1m 或2m 时，
14、23,2mmkm的取值范围是2 2,3)故选 B12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过右焦点 F 且倾斜角为4 的直线与椭圆C 形成的弦长为 85，且椭圆C 上存在 4 个点,M N P Q 构成矩形，则矩形 MNPQ 面积的最大值为()A4B 4 2C8D16答案：A【解析】由题意得，32ca，故2,3,(3,0)abcbFb，则直线:3l yxb，联立2223440yxbxyb，解得2258 380 xbxb，其中232b，故所形成的弦长为2328255b，解得1b，即椭圆22:14xCy 由 对 称 性 设00,M xy，其 中000 x y，则000000,Nx
15、yPxyQ xy，则00|2,|2MNxMQy，故矩形 MNPQ 的面积22200004,16Sx ySx y24220004164216xxx，故矩形 MNPQ 面积的最大值为 4，故选 A 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在题中的横线上.）13设空间向量(3,1,),(2,5)xx ab，且ab，则 x _答案：1【解析】由题意得，0,650 xx a b，解得1x 14设圆221:244Cxyxy，圆222:680Cxyxy，则1C，2C 有_条公切线答案：2【解析】由题意得，圆2221:(1)(2)3Cxy，圆2222:(3)(4)5Cxy，2
16、2121(13)(24)2 13(2,8),C CC 与2C 相交，有 2 条公切线15设12,F F 是椭圆22:1167xyC 的左、右焦点，点 P 在C 上，O 是坐标原点，且|3OP，则12PFF的面积为_答案：7【解析】由题意得，1214,3,|3,2acOPF FP在以线段12FF 为直径的圆上，222121212,36PFPFPFPFF F，由椭圆的定义知，128PFPF，由，解得1 21212114,2PF FPFPFSPFPF 716在如图所示的试验装置中，四边形框架 ABCD 为正方形，ABEF 为矩形，且33BEAB，且它们所在的平面互相垂直，N 为对角线 BF 上的一个
17、定点，且 2FNBN，活动弹子 M 在正方形对角线 AC 上移动，当 ME MN取最小值时，活动弹子 M 与点 B 之间的距离为_答案：53【解析】四边形 ABCD为正方形，则 ABBC，又平面 ABCD 平面 ABEF，平面 ABCD 平面,ABEFABBC 平面 ABEF 四边形 ABEF 为矩形，BEAB，以 B 为坐标原点，以射线,BA BE BC 分别为,x y z 轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,3,0),(1,3,0)BACEF，点 N 在 BF 上，且22,2,03FNBNN，又 M 在线段 AC 上移动，则有(
18、,0,)(0,1)CMtCAtt t，易得点(,0,1),(,3,1)M ttMEtt，22228,2,1,6(1)27333MNttME MNt tttt22552,39t当23t 时，ME MN取得最小值，此时点21,0,33M，则2221215,0,|,33333BMBM活动弹子 M 与点 B 之间的距离为53 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17已知点(3,1)P()若直线l 与直线3,7yx分别交于点,A B，且线段 AB 的中点为 P，求直线l 的斜率；()若直线l 过点 P 且原点到该直线的距离为 3，求直线l 的方程【解
19、析】()由题意设点(,3),(7,)A aBb，则7632ab ，解得1,5ab 4 分直线l 的斜率为 5 11.73 5 分(II)当直线l 的斜率不存在时，其直线方程为3x，满足题意；6 分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(3)yk x，即310kxyk 则原点到直线l 的距离2|31|31kdk，解得43k，8 分则直线l 的方程为 43150 xy9 分综上所述，直线l 的方程为3x 或 43150 xy10 分18已知定点(4,0),(1,0)MN，动点 P 满足6|MN MPPN，设点 P 的轨迹为 E()求轨迹 E 的方程；()若点,Q R 分别是圆22142xy和
20、轨迹 E 上的点，求,Q R 两点间的最大距离【解析】()设动点(,)P x y，则(4,),(3,0),(1,)MPxy MNPNxy，又226|,3(4)6(1)()MN MPPNxxy 3 分化简得223412xy，即22143xy，动点 P 的轨迹 E 的方程为22143xy 6 分()设(,)R x y，圆心到轨迹 E 上的点的距离22221117135 (33)23432dxyyyyy剟10 分当32y 时，maxmax5,|25dQR12 分19如图，在三棱锥 SABC中，SC 平面3,3,22,2ABC SCACBC CEEBAC，CDED()求证:DE 平面 SCD；()求
21、SB 与平面 SCD 所成角的正弦值【解析】()由题意得，,AC BC SC 两两垂直，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,0,(1,1,0),(0,2,0),(0,0,3)2ADES，则(1,1,0),(1,1,0),(0,0,3)DECDCS，3 分1 100,0000DE CDDE CS ，即,DECD DECS，又,CDCSCDE 平面.6SCD分()由()知(1,1,0)DE 为平面 SCD 的一个法向量，7 分又(0,3,0),(0,0,3)BS，则(0,3,3)SB，8 分设 SB 与平面 SCD 所成角为，31sin|cos,|2|3 22SB DESB DES
22、BDE，SB 与平面 SCD 所成角的正弦值为 1.212 分20设圆C 的圆心为(m，0)，半径为 r，圆C 过点(2，0)，直线 l：xy20 交圆C 于M，N 两点，且|2 2MN()求圆 C 的方程；()已知4m，过点(1,0)的直线与圆C 相交于1122,P x yQ xy两点，其中121,0 xx y若存在(,0)A t，使得 x 轴为PAQ的平分线，求正数 t 的值【解析】()设圆C 的方程为222()xmyr，由题意得，2222(2)222 22mrmr，解得24r，0m 或4m，圆C 的方程为224xy或22(4)4xy5 分()由()知，圆C 的方程为224xy设直线 PQ
23、的方程为(1)yk x，联立224(1)xyyk x，化简得22221240kxk xk，2212122224,.711kkxxxxkk分 x 轴平分,0PAQAPAQkk，则12120yyxtxt，1212110k xk xxtxt，即12122(1)20 x xtxxt，10 分 2222242(1)2011kkttkk，解得4t，当4t 时，x 轴为PAQ的平分线12 分21如图，在几何体111ABCA BC中，底面 ABC是边长为 2 的正三角形，1AA 平面 ABC，111/AABBCC，且1116236,AABBCCE是 AB 的中点()求证:CE/平面111A BC；()求二面角
24、111BACA的余弦值【解析】()取11AB 的中点 F，连接1111,/EF C FAABBCC，1/EFCC，且11112,2EFAABBEFCC，四边形1EFC C 是平行四边形，1/,CEC F3 分又 CE 平面1111,A BC C F 平面111,/A BCCE平面111,A BC5 分()取 AC 的中点O，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则1111111(1,0,1),(0,3,3),(1,0,2),(1,3,2),(2,0,1).ABCABAC7 分设平面111A BC 的法向量是(,)x y zm，则111100A BACmm，即32020 xyz
25、xz，令1x ，得(1,3,2),m9 分易知平面11AAC 的一个法向量是(0,1,0),10n分6cos,|4m nm nmn，又二面角111BACA是钝二面角，二面角111BACA是钝二面角的余弦值为6412 分22已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，左，右焦点分别为12,F F，过2F 的直线l 与C 交于,A B两点，若l 与 x 轴垂直时，|2AB()求椭圆C 的标准方程；()若点 P 在椭圆C 上，且OPAB(O 为坐标原点)，求2|ABOP的取值范围【解析】()由题意得，22cea，即2ac，则bc，把 xc代入椭圆方程可得22221,cyab222,|2b
26、byABaa，即2222cc，1,2,1,cab 椭圆C 的标准方程为221.42xy分()由()知，2F 的坐标为(1,0)当直线l 的斜率不存在时，2|2,|2ABOP，则2|2;5|2ABOP分当直线l 的斜率为 0 时，2|2 2,|1ABOP，则2|2 2;6|ABOP分当直线l 的斜率存在且不为 0 时，设直线l 的方程为(1)(0)yk xk，联立22(1)12yk xxy，得2222214220kxk xk设1122,A x yB xy，则22121222422,2121kkxxx xkk，则221212|14ABkxxx x222222222 2142214.8212121kkkkkkk分设点00,P xy，则001yxk，即00 xky，代人椭圆方程得 202012kyy，20222yk，则22222200022212,|22kkxOPxykk，22222222222 2123 22122|3 222122,|21212212 212kkkABkOPkkkkk10 分又221 1,k 2|ABOP的取值范围是2,2 22，综上所述，2|ABOP的取值范围是2,2 2212 分