1、高考资源网（） 您身边的高考专家北大附中云南实验学校2020-2021学年度期中考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：吴昌泓一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的）1. 集合，则（ ）A. B. C. D. B分析：先求出集合A，B，再根据交集定义即可求出.解答：，.故选：B.2. 若实数，满足，则的最小值是（ ）A. 0B. 1C. D. 9A解答：试题分析：作出可行域如下图所示，当直线过点时，有最小值，此时，故选A考点：线性规划3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6C解答
2、：s=1+（11）2=1，不满足判断框中的条件，k=2，s=1+（21）2=2，不满足判断框中的条件，k=3，s=2+（31）2=6，不满足判断框中的条件，k=4，s=6+（41）2=15，不满足判断框中的条件，k=5，s=15+（51）2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k=5故选C4. 下列结论正确的是()A. 对事件A的概率P(A)必有0P(A)1B. 若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件C. 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效可能性为76%D. 某奖券中奖率为50%,则某
3、人购买此奖券10张,一定有5张中奖C解答：由概率的基本性质,事件A的概率P(A)的值满足0P(A)1，故A错误；必然事件概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误故选C.5. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件B分析：根据必要而不充分条件的定义分析可得答案.解答：若，可令，则无意义，所以“”不能推出“”，若，则，故，所以“”能推出“”，“”是“”的必要而不充分条件，故选：B点拨：结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应
4、集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含6. 小明在鞋柜里放了三双鞋，若随机从中拿出两只鞋，则恰好成双的概率是（ ）A. B. C. D. A分析：求出从6只鞋子中任取2只的方法数，再求出恰好配成双的方法数，然后计算概率解答：共有6只鞋，任取2只的方法数为，其中恰好配成双的方法数为3，所以所求概率为故选：A点拨：本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件总数及所求概率事件所含基本事件的个数7. 命题：若，则；命题：，则下列命题为真命题的是（）A.
5、B. C. D. D解答：当时，即命题为假命题，因为恒成立，即命题为假命题，则、为假命题，为真命题；故选D.8. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生C分析：等差数列的性质渗透了数据分析素养使用统计思想，逐个选项判断得出答案解答：详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若
6、，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意故选C点拨：本题主要考查系统抽样.9. 若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）A. B. C. D. C分析：令，则，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得解答：令，则，因此，.故选：C.点拨：本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题10. 已知椭圆C：的焦点为，过点直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8D分析：利用椭圆的定义，可求得的周长为，即可得到答案.解答：根据椭圆的定义，的周长为，的周长为.故选：D.点拨：本题考查椭
7、圆的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意11. 已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘车的概率为（ ）A. B. C. D. 无法确定B分析：转换为测度是长度的几何概型求概率.解答：由于地铁列车每10分钟一班，则两班列车停靠车站之间时间可用长度为10线段表示而列车在车站停1分钟，乘客到达站台立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示如下图示：则乘客到达站台立即乘上车的概率，故选：点拨：本题为几何概型的基本题，关键在于确定对应事件的测度.12. 已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则
8、椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. C分析：设出以为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式从而求得椭圆的离心率解答：显然 在椭圆内，设直线与椭圆的交点为，由是中点有：,将两点的坐标代入椭圆方程得:, 。两式相减得：,即,所以有，即所以，则椭圆的离心率为： .故选：C点拨：本题考查椭圆的离心率和中点弦的有关应用，中点公式及斜率公式的应用，本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法属于基础题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知
9、函数，若恒成立，则实数的取值范围是_解答：分析：由图知实数的取值范围是 ，其中 为直线与y=相切时的值，即 14. 若正实数满足，则的最小值为_分析：由得，将转化为，整理，利用基本不等式即可求解解答：因为，所以.所以当且仅当，即：时，等号成立所以的最小值为.点拨：本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题15. 命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_.分析：，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可解答：，使是假命题，则，使是真命题，当，即，转化为，不是对任意的恒成立；当，使即恒成立，即 ，第二个式
10、子化简得，解得或所以点拨：本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是_.分析：由椭圆的定义可得，解得，由椭圆的性质可得，解不等式求得离心率的取值范围解答：设点的横坐标为，则由椭圆的定义可得，由题意可得，则该椭圆的离心率的取值范围是，故答案为：，点拨：本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得，是解题的关键三、解答题（共70分，解答需要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）17. 已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）若存在，使得成立，求
11、实数的取值范围（1）12；（2）.分析：（1）变形为后，根据基本不等式可得结果；（2）转化为，等价于，等价于，等价于.解答：解：（1）因为，所以，因为，所以，所以当且仅当时，等号成立，所以当时，.（2）存在，使得成立，等价于当时，由（1）知，所以，所以.因为，所以，解得，所以实数的取值范围为.点拨：本题考查了利用基本不等式求最小值，考查了不等式能成立问题，属于中档题.18. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质
12、量为二级;在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本,监测值茎叶图(十位为茎,个位为叶)如图所示,若从这6天的数据中随机抽出2天,(1)求恰有一天空气质量超标的概率;(2)求至多有一天空气质量超标的概率.(1)；(2)解答：试题分析：（1）由题给出了6天数据的茎叶图，由规定可确定空气的等级，而求6天的数据中随机抽出2天恰有一天空气质量超标的概率，为古典概型可先确定所有的基本事件数，再确定恰有一天空气质量超标的基本事件数，代入公式可求；（2）由（1）已确定出所有的基本事件数，求至多有一天空气质量超标的概率
13、，可转为求它的对立事件，即2天都超标的概率可求试题解析：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f从6天抽取2天的情况：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15（1）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8；（2）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，故，考点：（1）茎叶图的读法及古典概率的计算；（2）对立事件的概率19. 已知椭圆的左右焦
14、点分别是，离心率过点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3（1）求椭圆E的方程；（2）直线l过椭圆E的右焦点，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求的取值范围（1）；（2）分析：（1）代入求解椭圆上点的坐标，再根据线段长为3和离心率即可求解；（2）分析直线l与轴不垂直时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式与斜率范围可求解.解答：（1）将代入椭圆方程得，则可解得，则由题可得，又，则可解得，故椭圆方程为；（2）直线l与轴不垂直时，设的方程为，联立直线与椭圆得，显然，设，则，则，可得，当直线l与轴垂直时，综上，的取值范围为.点拨：方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1
15、）得出直线方程，设交点，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.20. 某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量（单位：箱）76656收入（单位：元）165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金（1）若与成线性相关，则某天
16、售出9箱水时，预计收入为多少元？（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率附：回归方程，其中（1）206；（2）.解答：试题分析：（1）由题意可求得，从而求得，即可求出线性回归方程，将代入求出即可；（2）设事件：甲获一等奖；事件：甲获二等奖；事件：乙获一等奖，事件：乙获二等奖，事件：丙获一等奖；事件：丙获二等奖，利用列举法能求出三人获得奖学金之和不超过1000元的概率试题解析：（1）由题意可得，.当时，即某天售出9箱水的预计收益是206元（2）设事件：甲获一等奖；事件：甲获二等奖；事件：乙获一等奖，事件：乙获二等奖，事件：
17、丙获一等奖；事件：丙获二等奖，则总事件有：，8种情况甲、乙、丙三人奖金不超过1000事件有1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率点睛：求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21. 已知函数（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.（1）1；（2），.分析：（1）可化为，然后根据解集，由根与系数的关系可得关于的方程，解出；（2）当时，恒成立，符合题意；当，时，则只需成
18、立，利用基本不等式求出的最小值即可.解答：（1）不等式可化为，不等式的解集为，和是的两个实根，由根与系数的关系有，经检验满足题意，的值为1.（2）对任意，恒成立，对任意的，恒成立，当时，恒成立，符合题意；当，时，要使恒成立，则只需成立，而，当且仅当时取等号，的取值范围为，.点拨：本题考查了不等式的解集与方程根的关系和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，转化思想和方程思想，属中档题.22. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.（1）求的标准方程；（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，求面积的最大值.（1）；（2）分析：（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可解答：（1）解：由题意解得，所以椭圆的标准方程为（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，故设的方程为，联立方程得消去，整理得， ，当且仅当时等号成立，此时：，所以面积的最大值为点拨：本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题- 17 - 版权所有高考资源网