1、23映射,学生用书P26)1映射(1)映射的含义两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB(2)像与原像的概念在映射f：AB中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：xy(3)一一映射f：AB的概念一一映射是一种特殊的映射，它满足：A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应A中的不同元素的像也不同B中的每一个元素都有原像一一映射也叫作一一对应2函数与映射的关系映射f：AB，其中A、B是两个“非空集合”，而函数yf(x)，xA为“非空数集”，其值域也是非空数集于是，函数是数集到数
2、集的映射由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数一定是映射，映射一定是函数()(2)无论是映射还是函数，均要求涉及的集合为非空集合()(3)映射f：AB中，像的集合为B.()(4)对于映射f：AB，像组成的集合为集合B的子集；对于一一映射f：AB，像组成的集合与集合B相等()答案：(1)(2)(3)(4)2已知集合Aa，b，集合B0，1，下列对应不是A到B的映射的是()答案：C3设f：xx2是集合M到集合N的映射，若N1，2，则M不可能是()A1B，C1，2 D，1，1，解析：选C.若x2，则yx24N.1映射的特征(1)任意性：A中任
3、意元素x在B中都有元素y与之对应(2)唯一性：A中任意元素x在B中都有唯一元素y与之对应(3)方向性：f：AB与f：BA一般是不同的映射2一一映射和映射的区别与联系映射f：AB一一映射f：AB对应方式“多对一”或“一对一”一对一原像B中的一些元素可能没有原像B中的任何元素都有唯一的原像像A中的几个元素可能对应同一个像A中的任何元素都对应不同的像方向性B到A不一定是映射B到A是一一映射映射、一一映射、函数的判断学生用书P26判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)AR，B非负实数，对应关系f：yx2，xA，yB.(2)AR，B正实数，对应关系f：y
4、x2，xA，yB.(3)AxR|x0，BR，对应关系f：y2x，xA，yB.(4)Ax|x2，By|yx24x3，xR，f：yx3，xA，yB.【解】(1)是映射，且是函数，但不是一一映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应，又A、B均为非空数集，所以此映射是函数，因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射因为A中的元素0，在集合B中没有对应的元素(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射，因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应(4)当x2时
5、，x31，而yx24x3(x2)211，因而能构成映射，且是函数，并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射(1)两个集合之间只有一对一，多对一才是映射，其中一对一为一一映射 (2)并非所有映射都是函数，只有集合A、B都是非空数集时，映射才是函数1.(1)已知集合A0，4，B0，2，按对应关系f不能构成从A到B的映射的是()Af：xyxBf：xyx2Cf：xyDf：xy|x2|(2)已知A1，2，3，9，BR，从集合A到集合B的映射f：x.与A中元素1相对应的B中的元素是什么？与B中元素相对应的A中的元素是什么？解：(1)选B.因为在对应关系f：xyx2的作用下，A中元素0的
6、对应元素为2，但2不在集合B中，故按此对应关系不能构成从A到B的映射(2)A中元素1，即x1，代入对应关系得，即与A中元素1相对应的B中的元素是.B中元素，即，解得x4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.像与原像的求解学生用书P27已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(2x3y1，4x3y1)(1)求A中元素(1，2)的像；(2)求B中元素(1，2)的原像【解】(1)当x1，y2时，2x3y13，4x3y111，故A中元素(1，2)的像为(3，11)(2)令得故B中元素(1，2)的原像是.(1)求解像与原像的关键是：分清原像和像；搞清楚由原像到像的对应关系(2)对
7、于A中元素求像，只需将原像代入对应关系即可； 对于B中元素求原像，可先设出原像，然后利用对应关系列出方程组求解2.(1)点(x，y)在映射f：AB作用下的像是(xy，xy)，则点(3，1)在f作用下的原像是()A(2，1)B(4，2)C(1，2) D(4，2)(2)已知f：xx2是集合A到集合B0，1，4的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A3个 B4个C5个 D6个解析：(1)选A.由题意知所以即原像为(2，1)(2)选C.当x20时，x0，当x21时，x1，当x24时，x2，所以A中元素最多有5个规范解答映射的综合应用(本题满分12分)已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，
8、f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x2y1，4x3y1)(1)是否存在这样的元素(a，b)，它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；(2)判断这个映射是不是一一映射【解】(1)假设存在元素(a，b)，它的像仍是(a，b)由(3分)得(5分)所以存在元素使它的像仍是自己(6分)(2)由题知对任意的(a，b)(aR，bR)，方程组有唯一解，(8分)这说明B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，(10分)所以映射f：AB是A到B的一一映射(12分)(1)根据像仍是本身列方程组，处易出现不会用数学式子表达而列不出方程组的情况，这是解题关键点也是失分点；(2)处易出现对一一
9、映射不理解而无法判断，造成失分；(3)理解像、原像及一一映射的概念是关键点1下列对应中，是映射的个数为()A0B1C2 D3解析：选C.由映射的定义知，为映射；中M中的元素b没有像，不是映射；对，M中的元素c在P中有两个元素与之对应，不符合映射的定义，故选C.2如果(x，y)在映射f作用下的像是(xy，xy)，则(1，2)的像是_解析：由得xy3，xy1，所以(1，2)的像是(3，1)答案：(3，1)3下列集合A到集合B的映射f不是函数的有_A1，0，1，B1，0，1，f：A中的数平方；A0，1，B1，0，1，f：A中的数开方；AN，BQ，f：A中的数取倒数解析：当xA时，yx2B，是函数，当
10、x1，y1，不是函数，当x0时，像不存在答案：,学生用书P105(单独成册)A基础达标1下列各个对应关系中，能构成映射的是()解析：选D.A、B中原像集合中的元素2无像；C中原像集合中元素1有两个元素与之对应，所以A、B、C均不符合映射的定义，故选D.2若A为含三个元素的数集，B1，3，5，使得f：x2x1是从A到B的映射，则A等于()A1，2，3B1，0，2C0，2，3 D0，1，2解析：选C.由映射的概念，A中的元素在关系x2x1下，成为1，3，5，则A0，2，33下列对应是集合M到集合N的一一映射的是()AMNR，f：xy，xM，yNBMNR，f：xyx2，xM，yNCMNR，f：xy，
11、xM，yNDMNR，f：xyx3，xM，yN解析：选D.A中集合M的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.4设集合Aa，b，B0，1，则从A到B的映射共有()A2个 B3个C4个 D5个解析：选C.如图5已知a，b为实数，集合M，Na，0，f：xx表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab的值为()A1 B0C1 D1解析：选C.因为f：xx，所以MN.所以解得所以ab1.6在映射f：AB中，集合AB(x，y)|x，yR，且f：(x，y)(x
12、y，xy)，则B中的元素(1，3)在集合A中的原像为_解析：由题意得所以即原像为(1，2)答案：(1，2)7已知从A到B的映射是x2x1，从B到C的映射是y1，其中A，B，CR，则从A到C的映射是_解析：设xA，yB，zC，则y2x1，z1，所以z(2x1)1x.所以从A到C的映射是xx.答案：xx8设Ma，b，N2，0，2，则从M到N的映射中满足f(a)f(b)的映射f的个数为_解析：当f(a)f(b)时有三种：f(a)0，f(b)2；f(a)2，f(b)0；f(a)2，f(b)2.当f(a)f(b)时，有f(a)f(b)0，2，2，共3种可能综上所述，满足条件f(a)f(b)的映射有6个答
13、案：69设集合PQ(x，y)|x，yR，从集合P到集合Q的映射为f：(x，y)(xy，xy)求(1)集合Q中与集合P中元素(3，2)对应的元素；(2)集合P中与集合Q中元素(3，2)对应的元素解：(1)由325，326可得到集合Q中与集合P中元素(3，2)对应的元素为(5，6)(2)设集合P中与集合Q中元素(3，2)对应的元素为(x，y)，则解得或所以集合P中与集合Q中元素(3，2)对应的元素为(2，1)或(1，2)10(1)若Aa，b，c，B1，2，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？(2)已知集合A1，2，3，4，5，B1，2，设映射f：AB，如果B中的元素都是A
14、中的元素在f下的像，这样的映射有几个？解：(1)Aa，b，c，B1，2，则从A到B的映射共有：238个反过来从B到A的映射共有：329个(2)由题意知，从集合A到集合B的映射总个数是2532个，因为B中的元素都是A中的元素在f下的像，所以要除去A中1，2，3，4，5都对应1和1，2，3，4，5都对应2这两个，故满足题意的映射共有32230个B能力提升11若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y2x21，值域为5，1，19的“孪生函数”共有()A4个 B6个C8个 D9个解析：选D.当2x215时，x，当2x211时，x0，当2x2119时
15、，x3，定义域中含3个元素时有4种，定义域中含4个元素时有4种，定义域中含5个元素时有1种综上，“孪生函数”共有4419个12若Aa，b，c，B1，2，从A到B建立映射f，使f(a)f(b)f(c)4，则满足条件的映射个数是_解析：由题意知a、b、c中有两个像为1，一个像为2，所以这样的映射有3个答案：313已知：集合Ax|2x2，Bx|1x1对应关系f：xyax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：AB，求实数a的取值范围解：当a0时，由2x2得2aax2a.若能够建立从A到B的映射，则2a，2a1，1，即所以0a.当a0时，集合A中元素的像满足2aax2a.若能建立从A到B的映射，则2
16、a，2a1，1，即所以a0.综合可知a.14(选做题)已知A1，2，3，4，B5，6，取适当的对应关系(1)以集合A为定义域、B为值域(注意：值域为B，而不是B的子集，即B中元素都有原像)的函数有多少个？(2)在所有以集合A为定义域、B为值域的函数中，满足条件f(1)f(2)f(3)f(4)的函数有多少个？解：(1)根据映射与函数的定义，集合A中的元素均可与B中的两个元素对应，故从A到B可建立2416个函数，但在1，2，3，4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B，应予以排除，所以以集合A为定义域、B为值域的函数有14个(2)在上述14个函数中，满足条件f(1)f(2)f(3)f(4)的函数具体为：f(1)5，f(2)f(3)f(4)6；f(1)f(2)5，f(3)f(4)6；f(1)f(2)f(3)5，f(4)6.所以满足条件的函数共有3个