1、4对数41对数及其运算第1课时对数,学生用书P54)1对数的概念(1)定义：一般地，如果abN(a0，a1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫作对数的底数，N叫作真数(2)指数式与对数式的关系式子名称abN指数式abN底数指数幂对数式logaNb底数对数真数2两种特殊的对数(1)以10为底的对数叫作常用对数，简记为lg N.(2)以无理数e2.718 28为底数的对数叫作自然对数，简记为ln N.3对数的基本性质(1)零和负数没有对数；(2)alogaNN(a0，a1，N0)；(对数恒等式)(3)loga10(a0，a1)；(4)logaa1(a0，a1)1判断正误(正
2、确的打“”，错误的打“”)(1)对数log39和log93的意义一样()(2)(2)38可化成log(2)(8)3.()(3)对数运算的实质是求幂指数()(4)lg x可以写成log x()答案：(1)(2)(3)(4)2若a2M(a0且a1)，则有()Alog2MaBlogaM2Cloga2M Dlog2aM答案：B3在bloga(5a)中，实数a的取值范围是()Aa5或a0B0a1或1a5C0a1D1a5答案：B4若log21，则x_答案：1从三方面认识对数式(1)对数式logaN可看作一种记号，只有在a0，a1，N0时才有意义(2)对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知abN求b的
3、前提下提出的(3)logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是loga与N的乘积2loga1与logaa(a0且a1)的应用loga10与logaa1这两个结论常常化“简”为“繁”，把0和1化为对数式的形式，再根据对数的有关性质求解问题3.对数恒等式具有的特征(1)指数中含有对数形式(2)它们是同底的(3)其值为对数的真数指数式与对数式的互化学生用书P55将下列指数式与对数式互化：(1)22； (2)102100；(3)ea16； (4)64；(5)log392； (6)logxyz(x0且x1，y0)【解】(1)log22.(2)log101002，即l
4、g 1002.(3)loge16a，即ln 16a.(4)log64.(5)329.(6)xzy. 1.将下列指数式与对数式互化：(1)log2164；(2)log273；(3)4364；(4)16.解：(1)由log2164可得2416.(2)由log273可得27.(3)由4364可得log4643.(4)由16可得log162.对数基本性质的应用学生用书P55求下列各式中x的值：(1)log(2x21)(3x22x1)1；(2)log2(log3(log4x)0.【解】(1)由log(2x21)(3x22x1)1得解得x2.(2)由log2(log3(log4x)0可得log3(log4
5、x)1，故log4x3，所以x4364.在本例(2)中，若改为“log2(log3(log4x)1”，试求x的值解：由log2(log3(log4x)1可得log3(log4x)2，故log4x329，所以x49.(1)对数运算时的常用性质：logaa1，loga10(a0且a1)(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质 2.(1)若lg(ln x)0，则x_(2)使式子(lg x)2lg x0成立的x的值为_解析：(1)由lg(ln x)0，得ln x1，所以xe.(2)由lg x(lg x1)0得lg x0
6、或lg x1，即x1或x10.答案：(1)e(2)1或10对数恒等式alogaNN(a0且a1，N0)的应用学生用书P56(1)设5log5(2x1)25，则x的值等于()A10B13C100 D100(2)计算：31log3524log23103lg3.【解】(1)选B.5log5(2x1)2x125，故x13.(2)31log3524log23103lg 333log35242log23(10lg 3)3(2log25)1351633351.对数恒等式alogaNN的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可 (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解3.求值：(1)9log3
7、4；(2)51log52.解：(1)9log34(32)log343log344.(2)51log5255log525210.易错警示因忽视对数式有意义的条件而致误对数式ylog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是()Aa5或a2B2a5C2a3或3a5 D3a4【解析】由对数式的定义得即所以2a3或3a0，x220.所以x1时，2x10，x220.所以x3.答案：3,学生用书P131(单独成册)A基础达标1下列说法中，错误的是()A零和负数没有对数B任何一个指数式都可以化成对数式C以10为底的对数叫作常用对数D以e为底的对数叫作自然对数解析：选B.A是对数的性质，C是常用对数定义，D是自然
8、对数定义，显然正确对于B，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可化为对数式，这是对数的定义，但整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围，如(5)225就不能写成log(5)252.2方程2log3x的解是()AxBxCx Dx9解析：选A.因为2log3x22，所以log3x2，所以x32.3若logac，则下列等式正确的是()Ab5ac Bba5cCb5ac Dbc5a解析：选B.由logac，得ac，所以ba5c.4已知logam，loga3n，则am2n等于()A3 B.C9 D.解析：选D.由已知得am，an3.所以am2nama2nam(an)232.故选D.5已知x2y24x2y5
9、0，则logx(yx)的值是()A1 B0Cx Dy解析：选B.因为x2y24x2y50，所以(x2)2(y1)20，即x2且y1，故logx(yx)log210.6若a0，a，则loga等于_解析：因为a0，a，所以a，由对数定义得loga3.答案：37若xlog43，则(2x2x)2_解析：(2x2x)24x4x24log434log43232.答案：8方程9x63x70的解是_解析：设3xt(t0)，则原方程可化为t26t70，解得t7或t1(舍去)，所以t7，即3x7.所以xlog37.答案：xlog379若logxm，logym2，求的值解：由logxm得x，由logym2得y，所以
10、2416.10设M0，1，Nlg a，2a，a，11a，是否存在a的值，使MN1?解：不存在a的值，使MN1若lg a1，则a10，此时11a1，从而11alg a1，与集合元素的互异性矛盾；若2a1，则a0，此时lg a无意义；若a1，此时lg a0，从而MN0，1，与条件不符；若11a1，则a10，从而lg a1，与集合元素的互异性矛盾综上，不存在a的值，使MN1B能力提升1132log32的值等于()A9 B9C9 D10解析：选C.32log3293log32999.12若log2log(log2x)log3log(log3y)log5log(log5z)0，则x，y，z的大小关系是_
11、解析：由log5log(log5z)0，得log(log5z)1，log5z，z5(56)，由log3log(log3y)0，得log(log3y)1，log3y，y3(310).又由log2log(log2x)0，得log(log2x)1，log2x，x2(215).因为31021556，所以yxz.答案：zxy13已知logablogba(a0，且a1；b0，且b1)求证：ab或a.证明：设logablogbak，则bak，abk，所以b(bk)kbk2，因为b0，且b1，所以k21，即k1.当k1时，a；当k1时，ab.所以ab或a，命题得证14(选做题)已知二次函数f(x)(lg a)x22x4lg a的最大值为3，求a的值解：原函数式可化为f(x)(lg a)4lg a.因为f(x)有最大值3，所以lg a0.并且4lg a3，整理得4(lg a)23lg a10，解得lg a1，lg a.因为lg a0，故取lg a.所以a10.