1、玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷理科数学【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。一选择题(每小题5分，共60分)【题文】1设集合，则的子集的个数是（ ）A4 B3 C 2 D1【知识点】集合及其运算. A1【答案解析】A 解析：由图可知中有两个元素，所以的子集的个数是4故选A.【思路点拨】由集合中方程的图像
2、得中有两个元素，所以的子集的个数4.【题文】2复数的共轭复数为（ ） A B C D【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】B 解析：=，其共轭复数为：，所以选B.【思路点拨】将已知复数分母实数化得 ，所以其共轭复数为：【题文】3下列说法正确的是（ ） A若命题都是真命题，则命题“”为真命题B命题“若，则或”的否命题为“若则或”C命题“”的否定是“”D“”是“”的必要不充分条件【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件；基本逻辑联结词及量词. A2 A3【答案解析】C 解析：若命题都是真命题，则命题“”是假命题，故A错；命题“若，则或”的否命题为“若则且”，故B错；“”是“”的充分不
3、必要条件，故D错；所以选C.【思路点拨】根据命题及其关系、充分条件、必要条件；基本逻辑联结词及含量词的命题的否定，确定个选项的正误.【题文】4一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（ ） A B C D【知识点】空间几何体的三视图. G2【答案解析】B 解析：此几何体是四棱锥，其底面为横边长5纵边长6的矩形，高为.由棱锥体积公式得：解得：，故选B.【思路点拨】由三视图得：此几何体是四棱锥，由棱锥体积公式求得值.【题文】5已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A B C D【知识点】解不等式. E8【答案解析】A 解析：由得：；由得：所以实数的取值范围是，故选A.【思路点
4、拨】在分段函数的每一段上解不等式，最后取各段解集的并集.【题文】6若，则向量与的夹角为（ ）A B. C. D. 【知识点】平面向量的线性运算. F1【答案解析】C 解析：因为，所以以向量为邻边的平行四边形是矩形，且向量与夹角，由图易知向量与的夹角为，故选C.【思路点拨】由已知等式得：以向量为邻边的平行四边形是矩形，且向量与夹角，由图易知向量与的夹角为.【题文】7已知，则 （ ）A B C D【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】D 解析：且，故选D.【思路点拨】根据已知条件把分成正数和负数两类，得，再由指数函数性质得，所以.【题文】8在正项等比数列中，则（ ） A B C D【知识点】
5、等比数列. D3【答案解析】D 解析：由得，所以，故选D.【思路点拨】先由等比数列通项公式及已知条件求得公比q,再由求得.【题文】9右边程序运行后，输出的结果为 （ ） i=1s=0p=0WHILE i2013 p=i*（i+1）s=s+1/pi=i+1WEND PRINT s END A B C D【知识点】程序框图. L1【答案解析】C 解析：程序执行的结果为：因为，所以，故选C.【思路点拨】程序执行的结果是可以用列项求和的式子，故用列项求和法求得结果.【题文】10设变量满足，若目标函数的最小值为，则的值为（ ） A B C D【知识点】线性规划. E5【答案解析】B 解析：目标函数的最小
6、值为，即直线的纵截距最大值为1.由图可知最优解是方程组的解，即，代入得：，故选B.【思路点拨】根据题意确定目标函数取得最大值的最优解，进而得到值.【题文】_D_C_B_A_11如图，四面体中，平面平面，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A B. C. D. 【知识点】多面体与球；球的体积. G8【答案解析】C 解析：因为平面平面，,所以平面,所以,因为,所以,所以平面ACD,所以,易得，设BC中点为O,则：OA=OB=OC=OD= ,即点O是四面体外接球的球心，所以该球的体积为：，故选C.【思路点拨】根据已知条件确定线段的中点为球心，球半径为,进而得到球的体积.【题文】12已
7、知分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为,则当的面积等于时，双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.2 【知识点】双曲线及其几何性质. H6【答案解析】A 解析：设：则，解的故选A.【思路点拨】根据已知条件列出关于的方程组，消去得的等量关系，从而求得离心率.二填空题(每小题5分，共20分)【题文】13曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 【知识点】定积分与微积分基本定理. B13【答案解析】 解析：所求.【思路点拨】根据定积分的几何意义及微积分基本定理求得结论.【题文】14设为定义在上的奇函数，当时，则 【知识点】奇函数的定义及性质. B4【答案解
8、析】2 解析： 为定义在上的奇函数，得， .【思路点拨】由处有意义的奇函数的性质：得，在由奇函数的定义求得-2.【题文】15已知的展开式中的系数为5，则 【知识点】二项式定理的应用. J3【答案解析】1 解析：因为的展开式中，含的项为:,所以,解得：.【思路点拨】利用二项式定理及多项式乘法的意义，得到的展开式中的系数的表达式，从而求得.【题文】16数列的通项公式，其前项和为，则= .【知识点】数列的前项和. D4【答案解析】3019 解析：当时，当时，而，又.【思路点拨】先按n的奇偶性将通项公式变形，得所有奇数项为1，所有偶数项从开始每两项的和为零，由此规律求得结论.三解答题(共70分，解答须
9、写出解题过程和推演步骤)【题文】17（本题满分12分）在中，角的对边分别为.已知，且 (1) 求角的大小； （2）求的面积.【知识点】三角函数单元综合. C9【答案解析】（1）C=60（2） 解析：(1) A+B+C=180由 整理，得 4分 解 得： 5分 C=60 6分（2）解由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即7=a2+b2ab ， 由条件a+b=5得 7=253ab 9分 10分 12分【思路点拨】利用二倍角公式将化为求得，因为，所以C=60.（2）由（1）及和余弦定理得：7=a2+b2ab，又a+b=5，所以，.【题文】18. （本题满分12分）在一次数学考试中，第22题
10、和第23题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某4名考生选做每一道题的概率均为 . （1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布列及数学期望.【知识点】概率；离散型随机变量及其分布列. K5 K6【答案解析】（1） ；（2）变量的分布列为：01234 解析：（1）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立.=.（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且.变量的分布列为：01234（或）【思路点拨】(1)根据相互独立事件同时发生的概率公式得
11、：所求;(2)易知随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且.由此可求得变量的分布列及其数学期望.【题文】19.（本题满分12分）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，平面，、分别是线段、的中点（1）证明： （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值【知识点】立体几何单元综合. G12【答案解析】（1）略； (2)点G是线段AP上距点A近的四等分点，理由略；（3） 解析：解法一：（1） 平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则2分不妨令，即4分（）设平面的法向量为，由，得，令，解得： 6分设点坐标为，则，要使平面，只需，即，
12、得，从而满足的点即为所求8分（），是平面的法向量，易得，9分又平面，是与平面所成的角，得，平面的法向量为 10分，故所求二面角的余弦值为12分解法二：（）证明：连接，则，又， ， 2分又， ，又， 4分（）过点作交于点，则平面，且有5分再过点作交于点，则平面且， 平面平面 7分 平面从而满足的点即为所求8分（）平面，是与平面所成的角，且 9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角10分， ，且 ， 12分【思路点拨】法一：(1)空间向量法.建立空间直角坐标系，得到直线PF、DF的方向向量，由方向的积为零得结论法,(2)先求平面PFD的法向量，再设出G点坐标，由得点G
13、位置.(3)找出二面角两半平面的法向量，求两法向量的余弦值；法二：（1）连接AF,证明平面PAF;（2）过点作交于点，过点作交于点，此时 平面且.（3）找出二面角的平面角：取的中点、PD中点N,可证得为所求二面角的平面角，再求这个角的余弦值.【题文】20.（本小题满分12分）已知定点，满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的动直线与曲线的交点为，与过点垂直于轴的直线交于点，又已知点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明。【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线；直线与圆的位置关系. H9 H8 H4【答案解析】(1) ;(2) 直线PF与BD为辅直径的圆M相切
14、,证明：略. 解析：(1)设，得.4分(2)设代入得 得 6分当时, 8分又得,PD的中点，圆M的半径.圆心M到时直线PF距离，11分当 .综上，直线PF与BD为辅直径的圆M相切。12分【思路点拨】(1) 设，得(2)设出直线AP方程，从而求得点P坐标，由圆心到直线的距离与半径的关系得结论.【题文】21.（本小题满分12分）已知函数 ，且.（1）若在处取得极值，求的值； （2）求的单调区间；（3）若的最小值为1，求的取值范围。 【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（1）1; (2) 当时,的单调增区间为 无单调递减区间，当时，（3）解析：（1）2分在x=1处取得极值，解得3分（2） 当时
15、，在区间的单调增区间为5分当时，由8分（3）当时，由（）知，10分当时，由（）知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是12分【思路点拨】（1）由函数的导函数在处的函数值为零得值；（2）由导函数大于零得单调增区间，导函数小于零得单调减区间. (3)结合（2）确定函数取得最小值的点，通过此点的函数值与1比较得a的取值范围.选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：如果多做，则按所做的第一个题目计分.【题文】22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数
16、）.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积。【知识点】极坐标与参数方程. N3【答案解析】（1）曲线的直角坐标方程为：.直线的普通方程为：；（2）；解析：（1）对于：由，得，进而.2分 对于：由（为参数），得，即.4分（2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距，6分. 弦长，8分.因此以为边的圆的内接矩形面积10分【思路点拨】（1）利用公式，将曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程，将直线的参数方程（为参数）消去参数t得直线的普通方程.（2）由点到直线的距离公式求得弦心距d，进一步求出弦长|PQ|再利用求值.【题文】23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，试求的取值范围。【知识点】函数的定义域；不等式恒成立；函数的最值. N4 【答案解析】（1）；（2）. 解析：（1）当时， 由，得或或，解得或即函数的定义域为.-（5分）（2）由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围为. -（10分）【思路点拨】（1）当时，由分段讨论得原函数的定义域；（2）若函数的定义域为，则恒成立，即恒成立，所以只需求的最小值，此最小值为1，所以.
