1、3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件(重点、易混点)1.通过复数概念的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过复数有关概念的应用，培养学生的数学运算的核心素养.1复数的概念：zabi(a，bR)全体复数所构成的集合Cabi|a，bR，叫做复数集2复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.3复数的分类zabi(a，bR)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
2、提示 1用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有()ACRIBRI0CRCIDRID由复数的概念可知RC，IC，RI.2复数i2的虚部是()AiB2C1D2Ci22i，因此虚部是1.3如果(xy)ix1，则实数x，y的值分别为()Ax1，y1Bx0，y1Cx1，y0Dx0，y0A(xy)ix1，x1，y1.4在下列数中，属于虚数的是_，属于纯虚数的是_0,1i，i，2i，i，i.1i，i，2i，i，ii，i根据虚数的概念知：1i，i，2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：i，i都是纯虚数复数的概念及分类【例1】实数x分别取什么值时，复数z(x22x15)i是实数？虚数？纯虚数？解当
3、x满足即x5时，z是实数当x满足即x3且x5时，z是虚数当x满足即x2或x3时，z是纯虚数复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式zabi(a，bR)时应先转化形式(2)注意分清复数分类中的条件设复数zabi(a，bR)，则z为实数b0，z为虚数b0，z为纯虚数a0，b0，z0a0，且b0.跟进训练1若复数za232ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_1或3由条件知a232a0，a1或a3.2实数k为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)分别是实数；虚数；纯虚数；
4、零解由z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.当k25k60时，zR，即k6或k1.当k25k60时，z是虚数，即k6且k1.当时，z是纯虚数，解得k4.当时，z0，解得k1.复数相等的充要条件探究问题1由32能否推出3i2i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示由32不能推出3i2i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小2若复数zabi0，则实数a，b满足什么条件？提示若复数zabi0，则实数a，b满足a0，且b0. 【例2】(1) 若复数z(m1)(m2 9)i0，则实数m的值等于_ (2)已知关于x的方程x2
5、(12i)x(3mi)0有实数根，求实数m的值思路探究：(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解(1)3z0，求实数m的取值范围解由题意可知，x2(12i)x(3mi) x2x3m(2x1)i0，故 解得 所以实数m的取值范围为.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数1对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复
6、数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断1已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A，1B，5C，5D，1C令得a，b5.2给出下列三个命题：(1)若zC，则z20；(2)2i1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为()A0个B1个C2个D3个B(1)错误，例如zi，则z21；(2)错误，因为2i1的虚部是2；(3)正确，因为2i02i.3已知x2y22xyi2i，则实数x，y的值分别为_或x2y22xyi2i，解得或4如果(m21)(m22m)i1，则实数m的值为_2由题意得解得m2.5实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解由m25m60得，m2或m3，由m22m150得m5或m3.(1)当m22m150时，复数z为实数，m5或3.(2)当m22m150时，复数z为虚数，m5且m3.(3)当时，复数z是纯虚数，m2.(4)当时，复数z是0，m3.