1、邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1函数f（x）x2sinx在0，上的平均变化率为（）A1B2CD22复数z满足z=2i1-i，则复数z的虚部为（）A1B1CiDi3已知随机变量X服从正态分布N（1，4），若P（X2）0.2，则P（0X1）为（）A0.2B0.3C0.4D0.64已知Cn+17-Cn7=Cn8（nN*），则n等于（）A14B12C13D155已知f（x）xsin2x，则为（）AB-2C2D6二项式（x+2x2）10展开式中的常数项是（）A180B90C45D
2、3607从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）（）A38B1340C1345D348如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A48种B72种C96种D144种9设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数f（x）在x1处取得极大值，则函数yxf（x）的图象可能是（）ABCD10已知（x1）9（1x）a0+a1x+a2x2+a10x10，则a8（）A45B27C
3、27D4511现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A每人都安排一项工作的不同方法数为54B每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312已知函数f（x）axlnx，x1，e的最小值为3，若
4、存在x1，x2，xn1，e，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）f（xn），则正整数n的最大值为（）A2B3C4D5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为 14若（13x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则a1+a2+a3+a10 15荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_16若存在a0，使得函数f（x）6a2lnx与g（x）x24axb的
5、图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为 三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知z是复数，z+2i与z2-i均为实数（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围18有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(结果用数字作答)(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.19已知（x+124x）n的展开式中前三项
6、的系数为等差数列（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项20有一块半圆形的空地，直径米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃，如图所示，其中为圆心，在半圆上，其余为绿化部分，设.（1）记花圃的面积为，求的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米，在花圃的边、处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰、不铺设，求满足什么条件时，会使总造价最大.21已知甲箱中装有3个红球，2个黑球乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个
7、球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望E（X）；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？22已知函数f（x）exaxa（其中e为自然对数的底数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若对任意x（0，2，不等式f（x）xa恒成立，求实数a的取值
8、范围；（）设nN*，证明：（1n）n+（2n）n+（3n）n+（nn）nee-1高二年级期中考试试题参考答案2020.5.6一选择题（共12小题）1函数f（x）x2sinx在0，上的平均变化率为（）A1B2CD2【解答】解：根据题意，f（x）x2sinx，则f（0）0，f（）2sin2，则f（x）在0，上的平均变化率为yx=f()-f(0)-0=2-0-0=；故选：C2复数z满足z=2i1-i，则复数z的虚部为（）A1B1CiDi【解答】解：z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i(1+i)2=-1+i，则复数z的虚部为1故选：B3已知随机变量X服从正态分布N（1，4），若P（
9、X2）0.2，则P（0x1）为（）A0.2B0.3C0.4D0.6【解答】解：随机变量X服从正态分布N（1，4），1，2，又P（X2）0.2，P（0X1）P（1X2）0.50.20.3；故选：B4已知Cn+17-Cn7=Cn8（nN*），则n等于（）A14B12C13D15【解答】解：Cn+17-Cn7=Cn8（nN*），Cn+17=Cn8+Cn7=Cn+18，n+17+8，解得n14故选：A5已知f（x）xsin2x，则f（2）为（）AB-2C2D【解答】解：f（x）sin2x+x2cos2xsin2x+2xcos2x，f（2）sin+cos0，故选：A6二项式（x+2x2）10展开式中的常
10、数项是（）A180B90C45D360【解答】解：二项式（x+2x2）10展开式的通项公式为 Tr+1=C10r2rx5-5r2，令5-5r2=0，求得 r2，可得展开式中的常数项是 C10222180，故选：A7从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）（）A38B1340C1345D34【解答】解：由题意，n（AB）=C31C31+C21C21=13，n（A）=C51C81=40P（B|A）=n(AB)n(A)=1340故选：B8如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供
11、4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A48种B72种C96种D144种【解答】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步分析：，对于A区域，有4种涂法，对于B区域，与A相邻，有3种涂法，对于C区域，与A、B相邻，有2种涂法，对于D区域，若其与B区域同色，则E有2种涂法，若D区域与B区域不同色，则E有1种涂法，则D、E区域有2+13种涂色方法，则不同的涂色方案共有432372种；故选：B9设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数f（x）在x1处取得极大值，则函数yxf（x）的图象可能是（）ABC
12、D【解答】解：函数f（x）在R上可导，其导函数f（x），且函数f（x）在x1处取得极大值，当x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0当0x1时，xf（x）0；x0时，xf（x）0；当x1时，xf（x）0；当x1时，xf（x）0故选：D10已知（x1）9（1x）a0+a1x+a2x2+a10x10，则a8（）A45B27C27D45【解答】解：（x1）9（1x）（x1）10，设（x1）10的通项公式为Tk+1（1）k10kx10kk0，1，10，令10k8，解得k2a8（1）2102=-45故选：A11现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，
13、有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A每人都安排一项工作的不同方法数为54B每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33【解答】解：每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A错误，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C52A44，即选项B错误，如果司机工
14、作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（C53C21A22+C52C32A22）A33，即选项C错误，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33，即选项D正确，故选：D12已知函数f（x）axlnx，x1，e的最小值为3，若存在x1，x2xn1，e，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）f（xn），则正整数n的最大值为（）A2B3C4D5【解答】解：求导，f(x)=a-1x=ax-1x，当a0或0a1e时，f（x）0在x1，e恒成立，从而f（x）在1，e单调
15、递减，f（x）minf（e）ae13，解得a=4e(-，1e，不合题意，当1ea1时，易得f（x）在(1，1a)单调递减，在(1a，e)单调递增，f(x)min=f(1a)=1-ln1a=3，解得a=e2(1e，1)不合题意，当a1时，f（x）在1，e单调递增，所以f（x）minf（1）a31，满足题意，所以a3，所以f（x）3xlnx，x1，e，所以f（x）minf（1）3，f（x）maxf（e）3e1，依题意有（n1）f（x）minf（x）max，即（n1）33e1，得ne+23，又因为nN*，所以n3，所以n的最大值为3，故选：B二填空题（共4小题）14在10件产品中有2件次品，任意抽取
16、3件，则抽到次品个数的数学期望的值是35【解答】解：设抽到次品个数为，则H（3，2，10）E=nMN=3210=35故答案为：3515若（13x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则a1+a2+a3+a101023【解答】解：（13x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，令x0得：1a0；令x1得：a0+a1+a2+a3+a10（13）101024； 由可得：a1+a2+a3+a10102411023；故答案为：102316荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在
17、A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_【解答】解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p3p1，解得p=13，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23，若青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，若先按逆时针开始从AB，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为23C3123(13)2=1281=427，若先按顺时针开始从AC，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为13C3113(23)2=1281=427，则概率为427+427=827，故答案为:
18、16若存在a0，使得函数f（x）6a2lnx与g（x）x24axb的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为13e2【解答】解：设曲线yf（x）与yg（x）的公共点为H（x0，y0），因为f(x)=6a2x，g（x）2x4a，所以2x0-4a=6a2x0，化简得x02-2ax0-3a2=0，解得x0a或3a，又x00，且a0，则x03a因为f（x0）g（x0）所以x02-4ax0-b=6a2lnx0，b3a26a2ln3a（a0）设h（a）b，所以h（a）12a（1+ln3a），令h（a）0，得a=13e，所以当0a13e时，h（a）0；当a13e时，h（a）0即h（a）在(0，
19、13e)上单调递增，在(13e，+)上单调递减，所以b的最大值为h(13e)=13e2故答案为：13e2三解答题（共6小题）17已知z是复数，z+2i与z2-i均为实数（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围【解答】解：（1）设zx+yi（x，yR），则z+2ix+（y+2）i为实数，y2z2-i=x-2i2-i=(x-2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2x+2+(x-4)i5=2x+25+x-45i为实数，x-45=0，解得x4则z42i；（2）（z+ai）2（42y+ai）2（12+4aa2）+8（a2）i在第一象限，12+4a-a208
20、(a-2)0，解得2a618已知（x+124x）n的展开式中前三项的系数为等差数列（1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项【解答】解：（1）（x+124x）n的展开式中前三项的系数为Cn0(12)0、Cn112、Cn2(12)2，他们成等差数列，2（Cn112）=Cn0(12)0+Cn2(12)2，求得 n8，或n1（舍去），故二项式系数最大的项为T5=C84(12)4x=352x（2）第r+1项为 Tr+1=C8r(12)rx4-3r4，要使第r+1项的系数C8r(12)r最大，r0，1，2，3，4，5，6，7，8，经检验，r2 或3 时，第r+1项的系数C8r(12)r最大，
21、故展开式中系数最大的项为 T3=C8214x52=7x52，T4=C8318x74=7x7419有一块半圆形的空地，直径米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃，如图所示，其中为圆心，在半圆上，其余为绿化部分，设.（1）记花圃的面积为，求的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米，在花圃的边、处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰、不铺设，求满足什么条件时，会使总造价最大.【解答】解: （1）设半径为，则米，作，垂足为，因为，所以，所以，所以.，所以当时，递增；当时，递减.所以当时最大，最大值为.（2）设花圃总造价为，.令，则，由于，则.当时，函数单调递增，当时，函数单
22、调递减，所以当时，函数有最大值，即总造价最大.20把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求这个数列的各项和【解答】解：（1）先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有：A44=24第二类：以45打头的有：A33=6第三类：以435打头的有：A22=2（2分）故不大于43251的五位数有：A55-(A44+A33+A22)=88（个）即43251是第88项（4分）（2）1开头的五位数有A44=24；2开头的五位数有A44=24；3开头的五位数有A44=2
23、4；4开头的五位数有A44=24；所以1、2、3、4开头的五位数共有96个所以第96项是4开头最大的数，即45321（8分）（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A44个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）A4410000（10分）同理它们在千位、十位、个位上也都有A44个五位数，所以这个数列各项和为：（1+2+3+4+5）A44（1+10+100+1000+10000）1524111113999960（12分）21已知甲箱中装有3个红球，2个黑球乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设
24、奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望E（X）；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？【解答】解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则在1次摸奖中，获得二等奖的概率P（A）=
25、C32C21C31+C31C21C22C52C52=625（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为P1=C32C22C52C52=3100，获得三等奖的概率为P3=C32C32+C31C21C21C31+C22C22C52C52=2350所以P（B）=3100+625+2350=73100由题意，3人参与摸奖，相当于独立重复实验3次，随机变量XB（3，73100），所以P（Xi）=C3i(73100)i(1-73100)3-i，i0，1，2，3获奖人数X的数学期望EX373100=219100（3）参与有奖促销活动获得的奖金数Y的所有可能取值为300，200，100，0，由
26、（2）知，P（Y300）=3100，P（Y200）=625，P（Y100）=2350，P（Y0）=27100，所以Y的分布列是Y3002001000P3100 625 2350 27100 所以参与有奖促销活动获得的奖金数的期望为：EY=3003100+200625+1002350+027100=103，参与打9折促销活动，获得的返还金额为120010100=120元103元；所以应选择参与打9折促销活动有利22已知函数f（x）exaxa（其中e为自然对数的底数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若对任意x（0，2，不等式f（x）xa恒成立，求实数a的取值范围；（）设nN*，证明：（1n）n+
27、（2n）n+（3n）n+（nn）nee-1【解答】解：（）函数f（x）exaxa，所以f（x）exa；当a0时，f（x）0，函数f（x）在区间（，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0，得ex0，解得xlna，令f（x）0，得ex0，解得xlna，所以函数f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增；（）对任意x（0，2，不等式f（x）xa恒成立，即（a+1）xex恒成立，即当x（0，2时，aexx-1恒成立，令g（x）=exx-1，x（0，2，则g（x）=(x-1)exx2；所以当x（0，1）时，g（x）0，x（1，2）时，g（x）0，所以g（x）在区间（0，1）上单调递减，在（1，2上单调递增；所以x1时，函数g（x）取得最小值为e1，所以实数a的取值范围是（，e1）；（）证明：在（）中，令a1可知对任意实数x，都有exx10，即x+1ex，当且仅当x0时“”成立；令x+1=kn，k1，2，3，nN*，则knekn-1，即(kn)nekn=eken，所以（1n）n+（2n）n+（3n）n+（nn）n1en（e1+e2+e3+en）=e(en-1)(e-1)enee-1